107年普考-經建類-統計學概要詳解

107年公務人員普通考試

類 科 ：經建行政、工業行政、交通技術
科 目：統計學概要

解：
(一) $$X\sim N(\mu,\sigma) \Rightarrow \mu=Q_2= \bbox[red, 2pt]{63.25}$$ (二) $$Q_1= Q_2-(Q_3-Q_2) = 2Q_2-Q_3=2\times 63.25-72.5 = 126.5-72.5= \bbox[red, 2pt]{54}$$ (三) $$P(X<Q_1)= {1\over 4} \Rightarrow P(X<54)=0.25 \Rightarrow P(Z<{54-63.25\over \sigma})=0.25 \\ 由查表可知z_{0.25}=-0.675 \Rightarrow {54-63.25\over \sigma}=-0.675 \Rightarrow \sigma= {63.25-54 \over 0.675} = \bbox[red, 2pt]{13.70}$$ (四) $$P(X>80)=P(Z>{80-\mu\over \sigma})= P(Z>{80-63.25 \over 13.7}) = P(Z>1.223)\\ 查表可得z_{-1.22}=0.1112 =z_{1.22} \Rightarrow P(Z>1.223)=0.1112 \Rightarrow 2500\times 0.1112=278\\ \Rightarrow 約有\bbox[red, 2pt]{278人}成績高於80分$$

---

解：
(一)乘客到達車站的任一時刻是均勻分配，而且公車每隔5分鐘就有一班，因此$X\sim U(0, 5) \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{f(x)={1\over 5}, 0\le x\le 5}$
(二) $$\int_0^3 f(x)\;dx = \left. \left[ {1\over 5}x \right] \right|_0^3 = \bbox[red, 2pt]{3\over 5}$$ (三)等公車不超過2分鐘的機率為$\int_0^2 f(x)\;dx = {2\over 5} \Rightarrow$超過2分鐘的機率為${3\over 5}$ ；
3人中至少2人等待公車不超過2分鐘，即:
甲乙不超過2分鐘，丙超過2分鐘: 機率為 ${2\over 5}\times{2\over 5}\times {3\over 5}= {12\over 125}$；
甲丙不超過2分鐘，乙超過2分鐘: 機率也是 ${12\over 125}$;
乙丙不超過2分鐘，甲超過2分鐘: 機率也是 ${12\over 125}$;
甲乙丙都不超過2分鐘: 機率為 ${2^3\over 5^3}={8\over 125}$；
因此機率為 $3\times {12 \over 125}+{8\over 125}= \bbox[red, 2pt]{44\over 125}$

---

解：
(一) $$\bbox[red, 2pt]{(X,Y)=(1,1),(1,0), (0,1)}；因為白球只有一顆，不會出現(0,0)$$ (二) $$\begin{cases} P(X=1,Y=1)={4\over 5}\times {3\over 4}={3\over 5}\\  P(X=1,Y=0)={4\over 5}\times {1\over 4}={1\over 5}\\ P(X=0,Y=1)={1\over 5}\times {4\over 4}={1\over 5}\\\end{cases} \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{ \begin{cases} P(X=1,Y=1)={3\over 5}\\  P(X=1,Y=0)={1\over 5}\\ P(X=0,Y=1)={1\over 5}\\\end{cases}}$$ (三) $$P(X\ge Y)=P(X=1,Y=1)+ P(X=1,Y=0)= {3\over 5}+{1\over 5}= \bbox[red, 2pt]{4\over 5}$$

---

解：
(一) $$26.5+18.7+22.6 =\bbox[red, 2pt]{ 67.8}$$ (二) $$\begin{cases} H_0:\mu_1=\mu_2\\ H_1:\mu_1 \ne \mu_2\\ \alpha=0.05 \end{cases} \Rightarrow 拒絕區域R=\{t \mid |t|>t_{0.025}(18)\}\\ 以s_p^2估計母體變異數 \Rightarrow s_p^2= \sigma^2 =\sigma_1^2=\sigma_2^2 \Rightarrow s_p^2 = {(n_1-1)s_1^2+ (n_2-1)s_2^2\over n_1+n_2-2} = {9\times 4^2 +9\times 5^2 \over 18} =20.5 \\ 檢定統計量t={(\bar x_1 -\bar x_2)-(\mu_1 -\mu_2)\over \sqrt{{s_p^2/n_1}+{s_p^2/n_2}}} ={(26.5-18.7)-(0) \over \sqrt{20.5/5}} ={7.8\over \sqrt{4.1}}=3.85 \in R \Rightarrow 拒絕H_0 \\ \Rightarrow 甲乙兩廠平均每日生產量\bbox[red, 2pt]{不相等}$$ (三) $$\begin{cases}H_0: \mu_1 =\mu_2=\mu_3 \\ H_1:\mu_1\ne \mu_2或\mu_2\ne \mu_3 或\mu_1\ne \mu_3\\ \alpha=0.05\end{cases} \Rightarrow 拒絕區域R=\{F \mid F>F_{0.05}(2,27)=3.35\}\\由於k=3，改由單因子ANOVA來檢定，即完成下表:\\ \begin{array}{}\hline 變源 & SS & df & MS & F值\\\hline 組間 & SSB & 2 & MSB & MSB/MSW\\ 組內 & SSW & 27 & MSW & \\\hline 總和 & SST & 29 & &\\\hline \end{array}\\ \bar x= {n_1\bar x_1 + n_2\bar x_2 +n_3\bar x_3 \over n_1+n_2 +n_3} = {265+187+226 \over 30}=22.6\\ \Rightarrow \begin{cases} SSB=n_1(\bar x_1-\bar x)^2+ n_2(\bar x_2-\bar x)^2 + n_3(\bar x_3-\bar x)^2 \\\quad\quad=10(26.5-22.6)^2+(18.7-22.6)^2 +(22.6-22.6)^2)=304.2 \\ SSW = (n_1-1)s_1^2 +(n_2-1)s_2^2 +(n_3-1)s_3^2\\ \quad\quad =9\times 4^2 + 9\times 5^2+ 9\times 5^2= 594 \\ SST=SSB+SSW = 304.2+594=898.2\end{cases} \\ \Rightarrow \begin{cases} MSB = SSB/2 = 304.2/2 =152.1\\ MSW = SSW/27 = 594/27 = 22\end{cases} \Rightarrow F=MSB/MSW = 152.1/22= 6.91\in R\\ \Rightarrow 拒絕H_0 \Rightarrow 三產量\bbox[red, 2pt]{不全相等}$$

---

考選部未公布答案，解題僅供參考