108年身心障礙學生四技二專甄試-數學(A)-詳解

108學年度身心障礙學生升學大專校院甄試試題

甄試類(群)組別：四技二專組

考試科目(編號)：數學(A)

單選題，共 20 題，每題 5 分

解：

直線經過一、三、四象限，其X截距為正，Y截距為負；即
$$\begin{cases} ax+3=0 \\ by+3=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=-{ 3\over a}>0 \\ y=-{3\over b}<0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a<0 \\ b>0 \end{cases} \Rightarrow (ab<0, a<0)，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：
$$4x+3y=7 \Rightarrow y= -{4\over 3}x+{7\over 3} \Rightarrow 斜率為-{4 \over 3} \Rightarrow L斜率為 {3\over 4} \Rightarrow L: y-1={3\over 4}(x-4)\\ \Rightarrow L: 4y-3x+8=0，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\sin{570^o}+ \tan{(-1215^o)} +\sec{(-300^o)}\\ = \sin{(570^o-360^o)}+ \tan{(-1215^o+360^o\times 4)} +\sec{(-300^o+360^o)}\\ =\sin{210^o}+ \tan{225^o} +\sec{60^o}  = -{1\over 2}+1+2 ={5 \over 2} ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：
$$b<x<2\Rightarrow (x-2)(x-b)<0\Rightarrow x^{ 2 }-(b+2)x+2b<0\equiv x^{ 2 }+x+a<0\\ \Rightarrow \begin{cases} -(b+2)=1 \\ 2b=a \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} b=-3 \\ a=-6 \end{cases}\Rightarrow a+b=-6-3=-9，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$x^{ 2 }+y^{ 2 }-8x+4y=k\Rightarrow (x^{ 2 }-8x+16)+(y^{ 2 }+4y+4)=k+20\Rightarrow (x-4)^{ 2 }+(y+2)^{ 2 }=k+20\\ \Rightarrow 圓心O(4,-2),半徑r=\sqrt { k+20 } \\ 圓與x=y相切\Rightarrow 圓心至x=y的距離等於半徑長\Rightarrow \left| \frac { 4-(-2) }{ \sqrt { 1^{ 2 }+1^{ 2 } }  }  \right| =\sqrt { k+20 } \\ \Rightarrow \frac { 6 }{ \sqrt { 2 }  } =\sqrt { k+20 } \Rightarrow 18=k+20\Rightarrow k=-2，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$\begin{cases} f\left( 1 \right) =0 \\ f\left( 2 \right) =0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 1+a+b+6=0 \\ 8+4a+2b+6=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a+b=-7 \\ 2a+b=-7 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=0 \\ b=-7 \end{cases}\\ \Rightarrow f\left( x \right) =x^{ 3 }-7x+6=0\Rightarrow f\left( 5 \right) =125-35+6=96，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\overline { AB } :\overline { BP } =5:2\Rightarrow \overline { AP } :\overline { PB } =3:2\Rightarrow \begin{cases} 4=\frac { 2a+6 }{ 5 }  \\ b=\frac { -10+15 }{ 5 }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=7 \\ b=1 \end{cases}\\ \Rightarrow a+b=7+1=8，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$圓方程式:(x-2)^{ 2 }+(y-a)^{ 2 }=10經過(3,6)\Rightarrow 1+(6-a)^{ 2 }=10\Rightarrow 6-a=\pm 3\\ \Rightarrow a=9(3不合,a>4)，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：

$$\angle BAC = 180^o-\angle ABC-\angle ACB = 180^o-45^o-105^o=30^o,由正弦定理：\\ {\sin{\angle BAC} \over \overline{BC}}= {\sin{\angle ABC} \over \overline{AC}}  \Rightarrow {\sin{30^o} \over 8}= {\sin{45^o} \over b} \Rightarrow {1/2 \over 8}= {\sqrt{2}/2 \over b} \Rightarrow b=8\sqrt{2} ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$x^2-5x+3=0 \Rightarrow \begin{cases} \alpha+\beta =5\\ \alpha\beta=3 \end{cases} \Rightarrow \alpha^3\beta +\alpha\beta^3 = \alpha\beta(\alpha^2 +\beta^2) = \alpha\beta((\alpha+\beta)^2 -2\alpha\beta) \\ =3(5^2-2\times 3)=3\times 19=57，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$x^2+3x+k = \left(x+{3\over 2}\right)^2+k-{9\over 4}\le 0 \Rightarrow  \left(x+{3\over 2}\right)^2 \le {9\over 4}-k\\ 若{9\over 4}-k<0則無實數解,即{9\over 4}< k \Rightarrow k=3,4,5皆無實數解，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\begin{cases} 第3項為11 \\ 第9項為29 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a_1+2d=11 \\ a_1+8d=29 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a_1=5 \\ d=3 \end{cases} \Rightarrow a_5+\cdots+a_{11} ={(a_5+a_{11})(11-5+1)\over 2}\\ ={7 \over 2}(a_1+4d+a_1 +10d)={7 \over 2}(17+ 35) = 182，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：
$$\begin{cases} \vec{a}=(-2,3) \\ \vec{b}=(1,4) \end{cases} \Rightarrow (\vec{a}-2\vec{b})\cdot( 3\vec{a}+4\vec{b}) = ((-2,3)- (2,8))\cdot (-6,9)+(4,16)) = (-4,-5)\cdot (-2,25)\\ = 8-125=-117，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\begin{cases} a=\log _{ 3 }{ 4 } =\frac { \log { 4 } }{ \log { 3 } } \\ b=\log _{ 9 }{ 15 } =\frac { \log { 15 } }{ \log { 9 } } =\frac { \log { 5 } +\log { 3 } }{ 2\log { 3 } } =\frac { \log { 15 } /2 }{ \log { 3 } } =\frac { \log { \sqrt { 15 } } }{ \log { 3 } } \\ c=\log _{ \frac { 1 }{ 27 } }{ \frac { 1 }{ 216 } } =\frac { \log { \frac { 1 }{ 216 } } }{ \log { \frac { 1 }{ 27 } } } =\frac { \log { 216 } }{ \log { 27 } } =\frac { 3\log { 6 } }{ 3\log { 3 } } =\frac { \log { 6 } }{ \log { 3 } } \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} \log { 6 } >\log { 4 } \\ \log { 4 } =\log { \sqrt { 16 } >\log { \sqrt { 15 } } } \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} c>a \\ a>b \end{cases}\Rightarrow c>a>b，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$< a_1=7,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6=224 > 成等比數列 \Rightarrow 224=7r^5 \Rightarrow r=2 \\ \Rightarrow a_1+\cdots+a_7= {a_1(1-r^6) \over 1-r} = {7(1-2^6) \over -1} = 7\times 63=441，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\begin{cases}2^a=27 \\ 4^b=3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}\log{2^a}=\log{27} \\ \log{4^b}=\log{3} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}a\log{2}=3\log{3} \\ 2b\log{2}=\log{3} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}a={3\log{3}\over \log{2}} \\ b={\log{3} \over 2\log{2}} \end{cases} \\ \Rightarrow {a\over 2b}={3\log{3}\over \log{2}}\times {\log{2}\over \log{3}} =3\Rightarrow 5^{a\over 2b} =5^3=125，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：
個位數不可為5，因此個位數有6種選擇，十位數有6種選擇，百位數有5種選擇，共有$6\times 6\times 5=180$種不同的三位數，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：

$$\triangle ABC= \overline{AC}\times\overline{BC} \div 2 =(3-k)(4-4k/3) \div 2 =24 \Rightarrow (k-3)(4k/3-4)=48 \\ \Rightarrow k^2-6k-27=0 \Rightarrow (k-9)(k+3)=0 \Rightarrow k=-3 (9不合)，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：
計算題選3題且選擇題選2題，有$C^5_3\times C^{10}_2=450$種選法；
計算題選4題且選擇題選1題，有$C^5_4\times C^{10}_1=50$種選法；
計算題選5題且選擇題選0題，有$C^5_5\times C^{10}_0=1$種選法；
共有450+50+1=501種選法，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解： $$\begin{cases}EX={1+2+a+b \over 4}=3 \Rightarrow a+b=9 \\ EX^2={1+4+a^2+b^2\over 4} = {5+a^2+b^2 \over 4} \end{cases} \Rightarrow ({\sqrt{10} \over 2})^2={5+a^2+b^2 \over 4}+3^2 \Rightarrow a^2+b^2=41\\ \Rightarrow (a+b)^2=a^2+b^2+2ab \Rightarrow 9^2=41+2ab \Rightarrow ab=(81-41)\div 2=20，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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-- end --