106年公務人員普通考試
類 科 ：統計學
科 目：統計學概要
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(一)$$0.35\times 0.9+0.2\times 0.85+ 0.45\times 0.95 = \bbox[red, 2pt]{0.9125}$$(二)$$500\times 0.95= \bbox[red, 2pt]{475}$$(三)$$由(一)知不滿意的機率為1-0.9125=0.0875 \Rightarrow \begin{cases} {不滿意A\over 不滿意}= {0.35\times 0.1\over 0.0875} = {2\over 5} \\ {不滿意B\over 不滿意}= {0.2\times 0.15\over 0.0875} = {12\over 35} \\{不滿意C\over 不滿意}= {0.45\times 0.05\over 0.0875} = {9\over 35} \end{cases} \\ \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{ \begin{cases} 由A公司生產的機率為: {2\over 5} \\ 由B公司生產的機率為: {12\over 35} \\由C公司生產的機率為: {9\over 35} \end{cases}}$$
解：
(一)$$生產線2的樣本數據\Rightarrow \begin{cases}n_2=6\\ \bar x_2= 176/3\\ s_2^2= 358/15 \end{cases}\\
\begin{cases} H_0: \sigma \ge 10\\ H_1: \sigma < 10 \\ \alpha = 0.05\end{cases} \\ 由於母體平均數未知，採用\chi^2檢定\Rightarrow 拒絕區域 R=\{\chi^2 \mid \chi^2 < \chi_{1-\alpha}^2(n-1)= \chi_{0.95}^2(5)=1.145476\}\\
檢定統計量\chi^2= {(n_2-1)s_2^2 \over \sigma^2} = {5\times 358\div 15 \over 100} = {358\over 300}=1.193 \notin R \Rightarrow 不能拒絕H_0\\ \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{沒有證據顯示生產線2所生產的燈泡壽命之母體標準差小於10}(千小時)$$(二)$$生產線1的樣本數據\Rightarrow \begin{cases}n_1=5\\ \bar x_1= 45\\ s_1^2= 26 \end{cases}\;;生產線2的樣本數據\Rightarrow \begin{cases}n_2=6\\ \bar x_2= 176/3\\ s_2^2= 358/15 \end{cases}\\
先檢定兩母體的變異是否相同，即 \begin{cases} H_0:\sigma_1^2 =\sigma_2^2\\ H_1:\sigma_1^2 \ne \sigma_2^2\\ \alpha=0.1 \end{cases} \\\Rightarrow 拒絕區域R=\{F\mid F>F_{0.05}(4,5)=5.19或F< F_{0.95}(4,5)=0.16 \}\\
檢定統計量F={s_1^2/\sigma_1^2\over s_2^2/\sigma_2^2} ={26 \over 358/15}=1.089 \notin R \Rightarrow 不能拒絕H_0，即\sigma_1^2 =\sigma_2^2\\
因此可令\sigma_1^2 =\sigma_2^2=\sigma^2，並以樣本變異s^2估計母體變異\sigma^2，\\即s^2={(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2\over n_1+ n_2-2}= (4\times 26+5\times 358/15) \div 9= 24.81\\ \begin{cases}H_0: \mu_1=\mu_2\\ H_1:\mu_1 \ne \mu_2\\ \alpha=0.1 \end{cases} \Rightarrow 拒絕區域R=\{ t \mid |t|>t_{0.05}(9)=1.833\}\\
檢定統計量t={ (\bar x_1 -\bar x_2)-(\mu_1-\mu_2)\over \sqrt{\sigma^2/n_1 +\sigma^2/n_2}} = { (45 -176/3)-0\over \sqrt{24.81/5 +24.81/6}}= -4.53\in R \Rightarrow 拒絕H_0\\ \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{母體平均值不相等}$$
解：
(一)$$\begin{cases}A=200\div 2=100\\ B=10\div 1=10 \\ C=48\div 2=24 \\ D=2\times 1=2 \\ E=876\div D=438 \\ F=1358-200-10-48-876=224\\ G=35-2-1-2-D=28 \\ H=F\div G=224\div 28=8\end{cases} \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{ \begin{cases}A=100\\ B=10 \\ C=24 \\ D=2 \\ E=438 \\ F=224\\ G=28 \\ H=8\end{cases}}$$(二)$$判定係數R^2={SSR\over SST}= {SST-SSE\over SST}=1-{SSE \over SST}=1-{224\over 1358} = {0.8351}\\
\begin{cases}X_1自由度為2 \Rightarrow 水準數為2+1=3\\ X_2自由度為1 \Rightarrow 水準數為1+1=2\end{cases} \Rightarrow 反覆數={36\over 3\times 2}=6\\ \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{ \begin{cases}判定係數R^2=0.8351\\ X_1水準數=3\\ X_2 水準數=2 \\反覆數=6\end{cases}}$$
(三) $$(1)\begin{cases} H_0:X_2效應不存在\\ H_1:X_2效應存在\\ \alpha=0.05\end{cases} \Rightarrow 拒絕區域R_2=\{ F\mid F>F_{0.05}(1,28)=4.2\}\\ 檢定統計量F_2= {B\over H}={10\over 8}=1.25 \notin R_2 \Rightarrow 不能拒絕H_0 \Rightarrow 沒有證據顯示X_2的效應達顯著\\
(2)\begin{cases} H_0:X_3效應不存在\\ H_1:X_3效應存在\\ \alpha=0.05\end{cases} \Rightarrow 拒絕區域R_3=\{ F\mid F>F_{0.05}(2,28)=3.34\}\\ 檢定統計量F_3= {C\over H}={24\over 8}=3 \notin R_3 \Rightarrow 不能拒絕H_0 \Rightarrow 沒有證據顯示X_3的效應達顯著\\
(3)\begin{cases} H_0:X_1X_2效應不存在\\ H_1:X_1X_2效應存在\\ \alpha=0.05\end{cases} \Rightarrow 拒絕區域R_4=\{ F\mid F>F_{0.05}(3,28)=3.34\}\\ 檢定統計量F_4= {E\over H}={438\over 8}=54.75 \in R_4 \Rightarrow 拒絕H_0 \Rightarrow 證據顯示X_1X_2的效應達顯著$$(四)$$\sqrt{MSE} =\sqrt{H} =\sqrt{8}=\bbox[red, 2pt]{2.28}$$
解：
(一)$$\begin{array}{c|cc|rrr|}
i & x_i(統計) & y_i(英文) & x_i^2 & y_i^2 &x_iy_i\\\hline
1 & 57 & 60 & 3249 & 3600 &3429\\
2 & 53 & 36 & 2809 & 1296 &1908 \\
3 & 40 & 18 & 1600 & 324 & 720 \\
4 & 77 & 84 & 5929 & 7056 & 6468\\
5 & 98 & 99 & 9604 & 9801 & 9702\\
6 & 50 & 10 & 2500 & 100 & 500\\\hline
\sum & 375 & 307 & 25691& 22177 & 22718
\end{array}\\ \Rightarrow r_{xy} ={s_{xy} \over s_xs_y}= {\sum x_iy_i -(\sum x_i \sum y_i)/n \over \sqrt{\sum x_i^2-(\sum x_i)^2/n}\times \sqrt{\sum y_i^2 -(\sum y_i)^2}/n}\\ ={22718-375\times 307\div 6 \over \sqrt{25691-375^2/6}\times \sqrt{ 22177-307^2/6}}= \bbox[red, 2pt]{0.9247}$$
i & x_i/排名 & y_i/排名 & d_i:排名差距\\\hline
1 & 57/3 & 60/3 & 0 \\
2 & 53/4 & 36/4 & 0 \\
3 & 40/6 & 18/5 & 1 \\
4 & 77/2 & 84/2 & 0\\
5 & 98/1 & 99/1 & 0\\
6 & 50/5 & 10/6 & -1
\end{array} \Rightarrow r_{sp} =1-{6\sum d_i^2 \over n(n^2-1)}=1-{6\times (1^2+(-1)^2) \over 6(36-1)}\\=1-{12\over 210} = \bbox[red, 2pt]{0.9429}$$
(三)$$\begin{cases} H_0: \rho_{sp}=0 \\H_1:\rho_{sp}\ne 0 \\ \alpha=0.1\end{cases} \Rightarrow 拒絕區域R=\{r_{sp}\mid r_{sp}>0.829 \}\\ 檢定統計量r_{sp}=0.9429\in R \Rightarrow 拒絕H_0\Rightarrow 兩科目成績\bbox[red, 2pt]{存在顯著關係}$$(四) Pearson 相關係數在求連續變項間的相關程度；而Spearman在求次序變項間的相關程度。
考選部未公布答案，解題僅供參考
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