106年高考三級-經建類-統計學詳解

106年公務人員高等考試三級考試

類 科 ：經建行政、工業行政、農業行政、交通技術
科 目：統計學

解：
(一) $$\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty f(x,y)\;dydx=1 \Rightarrow \int_0^2\int_0^2 cy^2x(1+x)\;dydx=1 \Rightarrow \int_0^2 \left. \left[{c\over 3}y^3x(1+x) \right] \right|_0^2 \;dx \\=\int_0^2 {8c\over 3}x(1+x)\;dx  ={8c\over 3}\int_0^2(x+x^2)\;dx= {8c\over 3}\left .\left[ {1\over 2}x^2+{1\over 3}x^3 \right]\right|_0^2 ={8c\over 3}\times {14\over 3}= {112c\over 9} =1\\ \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{c={9\over 112}}$$ (二) $$F(a,b)=\int_{0}^a\int_{0}^b f(x,y)\;dydx= {9\over 112} \int_{0}^a\int_{0}^b y^2x(1+x)\;dydx ={9\over 112} \int_0^a \left. \left[ {1\over 3} y^3x(1+x) \right] \right|_0^b \\={3b^3\over 112}\int_0^a x+x^2\;dx  ={3b^3\over 112}\left .\left[ {1\over 2}x^2+ {1\over 3}x^3 \right]\right|_0^a= {3b^3\over 112}\left({1\over 2}a^2 +{1\over 3}a^3 \right) = {3\over 224} a^2b^3 +{1\over 112}a^3b^3\\ \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{F(a,b)={3\over 224}a^2b^3 +{1\over 112}a^3b^3,0\le a,b\le 2;}$$ (三) $$\begin{cases} f(x)={9\over 112}\int_0^2 y^2x(1+x)\;dy ={3\over 14}x(1+x) \\ f(y)={9\over 112}\int_0^2 y^2x(1+x)\;dx ={3\over 8}y^2 \end{cases} \Rightarrow f(x)f(y)={3\over 14}x(1+x)\times {3\over 8}y^2= {9\over 112}y^2x(1+x)\\ \Rightarrow f(x,y)=f(x)f(y) \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{X與Y獨立}$$

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解：
(一) $$骰子出現2、4、5、6的機率為{4\over 6}，骰子出現3的機率為{1\over 6}，\\骰子出現1的機率為{1\over 6}；因此期望值為(-10)\times {4\over 6}+0\times {1\over 6} + 20\times {1\over 6}=  -{10\over 3}\\ E(X^2)= (-10)^2\times {4\over 6}+0^2\times {1\over 6} + 20^2\times {1\over 6}= {400\over 3}  \Rightarrow  Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2  \\= {400\over 3}-  (-{10\over 3})^2 = {1100\over 9} \Rightarrow 標準差=\sqrt{1100\over 9} ={10\sqrt{11}\over 3}\\ \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{ \begin{cases}期望值: -{10\over 3}\\   標準差: {10\sqrt{11}\over 3}\end{cases}}$$ (二) $$\mu= E(\bar{X})=   -{10\over   3}\Rightarrow   \sigma_{\bar{X}}={\sigma\over \sqrt{n}}   =   {{10\sqrt{11}\over   3}   \over   \sqrt{100}}=   {\sqrt{11}\over   3}   \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{ \begin{cases}期望值: -{10\over 3}\\   標準差: {\sqrt{11}\over 3}\end{cases}}$$ (三) $$P(\bar{x}\le   k)=0.95    \Rightarrow   P\left(z\le   {k-(-10/3) \over \sqrt{11}/3}\right) =0.95   \Rightarrow   {k-(-10/3) \over \sqrt{11}/3}=1.645   \Rightarrow  k=-1.515\\ \Rightarrow 平均收益少於\bbox[red, 2pt]{-1.515}以下的機率為95\%$$

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解：
(一) $$\begin{array}{c|ccc|rrr|} i&x_i(方法一)&y_i(方法二)&z_i(方法三)& (x_i-\bar x)^2 & (y_i-\bar y)^2& (z_i-\bar z)^2\\\hline 1 &148 &82 & 15 & 0.44 &88.90 & 1995.11\\ 2 & 75 & 144& 106 & 5232.11 & 5102.04 & 2146.78\\ 3 &170 & 32 & 13 & 513.78 &1646.04 & 2177.78  \\ 4 &59&19& 60 & 7802.78 & 2869.90 & 0.11\\ 5 & 95&114 & 200 & 2738.78 & 1716.33 & 19693.44\\ 6 & 276& 55 & 41& 16555.11 & 308.76 & 348.44\\ 7& 71 & 62 &51 & 5826.78 & 111.76 & 75.11\\ 8 & 85 & & 5 & 3885.44 & &2988.44\\ 9 & 347 & & 46 & 39866.78 & & 186.78\\\hline  \sum &  1326 & 508 & 537& 82422.00 & 11843.71 & 29612.00 \end{array} \\ \Rightarrow \begin{cases} \bar x= \sum x_i/\#x_i= 1326/9 =147.33 \\ \bar y=\sum y/ \#y_i = 508/7=72.57 \\ \bar z= \sum z/\#z_i = 537/9=59.67\\ 總平均\bar s=(\sum x +\sum y+ \sum z)/ 25 =(1326+508+ 537)/25 = 2371/25=94.84\end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases}組間 &=\#(x)(\bar x-\bar s)^2+\#(y)(\bar y-\bar s)^2+ \#(z)(\bar z-\bar s)^2 \\&=9(147.33-94.84)^2 +7(72.57-94.84)^2 +9(59.67-94.84)^2 = 39405.65\\  組內&=\sum{(x_i-\bar x)^2} +\sum{(y_i-\bar y)^2} +\sum{(z_i-\bar z)^2}\\ &=82422.00+ 11843.71+ 29612.00 = 123877.71 \end{cases}\\ \Rightarrow ANOVA 表格:\\ \begin{array}{}\hline 變源 & SS & 自由度 & MS &F\\\hline 組間 & 39405.65 & 2 & 19702.82 & 3.499\\ 組內 & 123877.71 & 22 & 5630.805 \\ 總和 & 163283.36 & 24\\\hline \end{array}\\ 由\begin{cases}H_0=\mu_1\mu_2=\mu_3 \\ \mu_1\ne \mu_2 或 \mu_2\ne \mu_3 或\mu_1\ne \mu_3 \\ \alpha=0.05\end{cases} \Rightarrow 拒絕區域R=\{ F\mid F>F_{0.05}(2,22)=3.4434\} \\ \Rightarrow 3.499 \in R\Rightarrow 拒絕H_0 \Rightarrow 每人組裝時間分配\bbox[red, 2pt]{不相同}$$

(二) 檢定三組或更多組的平均數是否一致可採用變異數分析，本題僅探討教育訓練一個變項的影響，故採用單因子變異數分析作為檢定的方法。

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解：
(一) $$\hat{y}= \beta_1 x+\beta_0 \Rightarrow \beta_1=\cfrac{\sum XY -(\sum X)(\sum Y)/n}{\sum X^2-(\sum X)^2/n} = \cfrac{4329-60\times 553 \div 9}{582-60^2\div 9} = \cfrac{1927}{3\times 182} \approx 3.53\\ \beta_0= \bar Y-\beta_1\bar X={553\over 9}-3.53\times {60\over 9}\approx 37.92 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{ \hat{y}= 3.53 x+37.92}$$

(二) $$\begin{cases} H_0: \beta_1=0\\ H_1: \beta_1\ne 0 \\ \alpha=0.05\end{cases} \Rightarrow 拒絕區域 R=\{t\mid |t|>t_{0.025}(7)=2.365\}\\ 檢定統計量t=\cfrac{\hat \beta_1-\beta_1}{ \sqrt{MSE / s_x^2}} =\cfrac{3.53-0}{\sqrt{\sum (Y-\hat Y)^2/n-2/\sum (X-\bar X)^2}} \\=\cfrac{3.53}{\sqrt{3407.233/7/182}}=2.158 \notin R \Rightarrow 不能拒絕H_0 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{沒有顯著異於0}$$

(三) $$判定係數R^2={SSR\over SST}=1-{SSE\over SST}=1-{\sum (Y-\hat Y)^2 \over \sum (Y-\bar Y)^2} =1-{3407.233 \over 5674.2222} = \bbox[red, 2pt]{0.3995}$$

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考選部未公布答案，解題僅供參考