107年身心障礙學生大學甄試-數學乙-詳解

107學年度身心障礙學生升學大專校院甄試試題

甄試類(群)組別：大學組

考試科目(編號)：數學乙

單選題，共 20 題，每題 5 分

解：
$$\overline{AC}= 9-\sqrt{37} \approx 9-\sqrt{36}=9-6=3，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：
$$a>0 \Rightarrow 圖形為凹向上 \Rightarrow 存在 r 滿足f(r)>1000，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$f(x)=p(x)(x^2-3x+2)+(x-1) = -p(x)(-x^2+3x-2)+(x-1) \\\Rightarrow f(x)除以-x^2+3x-2的餘式仍為x-1，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：
$$f(0)=f(1)=f(2)=3 \Rightarrow f(x)=ax(x-1)(x-2)+3 \\又f(3)=15 \Rightarrow a\times 3\times 2\times 1+3=15 \Rightarrow 6a=12 \Rightarrow a=2\\ \Rightarrow f(x)=2x(x-1)(x-2)+3 \Rightarrow f(4)=2\times 4 \times 3\times 2+3 =51，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\begin{cases}L_1:y=mx+b\\ L_2:2x+6y=5 \end{cases} \Rightarrow L_1\bot L_2 \Rightarrow m\times -{1\over 3}=-1 \Rightarrow m=3 \Rightarrow L_1:y=3x+b\\ L_1過(2,2^a)及(4,4^a) \Rightarrow  \begin{cases}2^a=6+b\\ 4^a=12+b \end{cases} \Rightarrow 4^a-2^a=6 \Rightarrow (2^a)^2-2^a-6=0 \\ \Rightarrow (2^a-3)(2^a+2)=0 \Rightarrow 2^a=3 \Rightarrow  a\log{2}=\log{3} \Rightarrow a={\log{3}\over \log{2}} =\log_2{3}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$\sum_{k=1}^n {\log_2{(1+\frac{1}{k}})} = \log_2{(1+\frac{1}{1}}) +\log_2{(1+\frac{1}{2}})+\cdots\log_2{(1+\frac{1}{n}})\\ =\log_2{2\over 1} +\log_2{3\over 2}+\cdots +\log_2{n+1\over n}\ =\log_2{\left({2\over 1}\times{3\over 2}\times \cdots \times {n+1\over n}\right)} \\=\log_2{(n+1)} \Rightarrow n+1=2^k,k\in Z  ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\begin{cases} a=3^{10}\times 5^7 \\ b=5^7\times 8^5=5^7\times 2^{15} \\ c=3^{10}\times 8^5=3^{10}\times 2^{15} \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} \log{a}=10\log{3}+7\log{5}=10\log{3}+7(1-\log{2})=4.771+4.893 \\ \log{b}=7\log{5} +15\log{2} =7(1-\log{2})+15\log{2}=4.893+4.515 \\ \log{c}=10\log{3} +15\log{2}=4.771+4.515 \end{cases} \\\Rightarrow a>b>c，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\begin{cases} 滿意票=11k \\ 不滿意票=9k \\ 普通票=200-20k\end{cases} \Rightarrow 11k\times 2-9k = 104 \Rightarrow k=8\\ \Rightarrow 普通票=200-20k=200-160=40，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：

$$\sigma(aX+b)=|a|\sigma(X) \Rightarrow 英文的標準差變小了，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：
$$(9+3\times 11+x+5y)\div 10=7 \Rightarrow x+5y=28\cdots(1)\\ \begin{cases} x\ge 11\ge 11\ge 11>9\ge y\ge y\ge y\ge y\ge y\\ 11\ge 11\ge 11>x\ge 9\ge y\ge y\ge y\ge y\ge y \\11\ge 11\ge 11> 9>x\ge y\ge y\ge y\ge y\ge y \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 中位數=(9+y)\div 2=6 \Rightarrow y=3\\ 中位數=(9+y)\div 2=6 \Rightarrow y=3 \\中位數=(x+y)\div 2=6 \Rightarrow x+y=12\cdots(2) \end{cases} \\ 由(1)及(2)\Rightarrow y =4，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $${得乳癌被驗出陽性\over 得乳癌被驗出陽性+非乳癌被驗出陽性} ={5\%\times 80\% \over 5\%\times 80\%+ 95\%\times 20\%} = {4\over 23}=17.39\%\\，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：

$$\begin{cases} \vec{u}=(1,2)\\ \vec{v}=(a,b)\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} |\vec{v}|=\sqrt{a^2+b^2}=2\sqrt{5} \\ |\vec{u}+\vec{v}|=|(a+1,b+2)|=5\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} {a^2+b^2}=20 \\ (a+1)^2+(b+1)^2=25\end{cases} \Rightarrow a=-2b\\ \Rightarrow 4b^2+b^2=20 \Rightarrow b=\pm 2 \Rightarrow a=\mp 4 \Rightarrow \vec{v}=(\pm 4,\mp 2) \Rightarrow \begin{cases} \vec{u}\cdot \vec{v}=0\\ |\vec{v}|^2=20\end{cases}\\ 三角形面積={1\over 2}\sqrt{ |\vec{u}|^2|\vec{v}|^2 -(\vec{u}\cdot\vec{v})^2 }={1\over 2}\sqrt{5\times 20-0}= {1\over 2}\times 10=5，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：

$$可行解區域如上圖，頂點分別為\begin{cases} A(0,1)\\ B(0,3)\\ C(1,2)\\ D(2,0)\end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} f(A)=m\\ f(B)=3m\\ f(C)=6+2m\\ f(D)=12\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} max\{m,3m, 6+2m,12\} =14 \\ min\{m,3m, 6+2m,12\} =4\end{cases}\Rightarrow m=4， 故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

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解： $$小明的坐標(t,t),t\in Z，與神奇寶貝的距離小於等於20公尺，手機會發出通知，即\\ \sqrt{(t-100)^2+(t-120)^2}\le 20 \Rightarrow 2t^2-440t+24400\le 400 \Rightarrow t^2-220t+12000 \le 0 \\\Rightarrow (t-120)(t-100)\le 0 \Rightarrow 100\le t\le 120 \Rightarrow 當t=100時，手機發出通知，\\此時小明從(0,0)走到(100,100)，共走了\sqrt{100^2+100^2} =100\sqrt{2} =100\times 1.414=141.4公尺，\\故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：
$$A=\begin{bmatrix} a&b\\c&d \end{bmatrix} \Rightarrow A\begin{bmatrix} 1& 3 &x\\2& 4&y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a+2b& 3a+4b &ax+by\\c+2d & 3c+4d& cx+dy \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1& 0 &5\\0& 1& 6 \end{bmatrix}\\ \Rightarrow \begin{cases} \begin{cases}a+2b=1\\ 3a+4b=0 \end{cases} \\  \begin{cases}c+2d=0\\ 3c+4d=1 \end{cases} \\ \begin{cases}ax+by=5\\ cx+dy=6 \end{cases}\end{cases} \Rightarrow  \begin{cases} \begin{cases}a=-2\\ b=3/2 \end{cases} \\  \begin{cases}c=1\\ d=-1/2 \end{cases} \end{cases} \Rightarrow  \begin{cases}-4x+3y=10\\ 2x-y=12 \end{cases} \Rightarrow  \begin{cases}x=23\\ y=34 \end{cases}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：

此題相當於求前4次恰取到2個白球，且第5次取到白球的機率；
前4次恰取到2個白球的機率為$C^4_2\times {3\times 2\times 7\times 6\over 10\times 9\times 8\times 7} ={6\over 20}$，第5次取到白球的機率的機率為${1\over 6}$；因此機率為${6\over 20}\times {1\over 6}={1\over 20}$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：
$$總共有1+2+3+4+5= 15個球\Rightarrow 抽到k號球的機率為{k\over 15}\\ \Rightarrow 期望值=\sum_{k=1}^5{100k\times{k\over 15}} ={100\over 15}(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2) = {20\over 3}\times 55 ={1100\over 3}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$A=\begin{bmatrix}a& b\\ c&d \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}a& b\\ 1-a&1-b \end{bmatrix} \Rightarrow A^2=\begin{bmatrix} a^2+b-ab& ab+b-b^2\\ -a^2+ab-b+1& b^2-ab-b+1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}11/16& x\\ y& 3/8 \end{bmatrix}\\ \Rightarrow \begin{cases} a^2-ab+b=11/16 \\ b^2-ab-b+1=3/8\end{cases} \Rightarrow a^2-2ab+b^2=1/16 \Rightarrow (a-b)^2= 1/16 \Rightarrow |a-b|= {1\over 4}\\，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$1-(P(喜歡打籃球)+ P(喜歡玩手機)-P(喜歡打籃球且喜歡玩手機)) \\= 1-({6\over 10}+ {7\over 10} -{6\over 10}\times {7\over 10})\\ =1-{13\over 10}+ {42 \over 100} = {12\over 100} ={3\over 25}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：
$$先求12開頭的七位數，有幾個偶數？\\ \begin{cases}123開頭的七位數：\bbox[5px,border:2px solid blue]{123}\;\bbox[5px,border:2px solid blue]{4,5,6,7}= \bbox[5px,border:2px solid blue]{123}\;\bbox[5px,border:2px solid blue]{2奇2偶}\to 12種排列\\124開頭的七位數：\bbox[5px,border:2px solid blue]{124}\;\bbox[5px,border:2px solid blue]{3,5,6,7}= \bbox[5px,border:2px solid blue]{124}\;\bbox[5px,border:2px solid blue]{3奇1偶}\to 6種排列\\ 125開頭的七位數：\bbox[5px,border:2px solid blue]{125}\;\bbox[5px,border:2px solid blue]{3,4,6,7}= \bbox[5px,border:2px solid blue]{125}\;\bbox[5px,border:2px solid blue]{2奇2偶}\to 12種排列 \\126開頭的七位數：\bbox[5px,border:2px solid blue]{126}\;\bbox[5px,border:2px solid blue]{3,4,5,7}= \bbox[5px,border:2px solid blue]{126}\;\bbox[5px,border:2px solid blue]{3奇1偶}\to 6種排列 \\127開頭的七位數：\bbox[5px,border:2px solid blue]{127}\;\bbox[5px,border:2px solid blue]{3,4,5,6}= \bbox[5px,border:2px solid blue]{127}\;\bbox[5px,border:2px solid blue]{2奇2偶}\to 12種排列\end{cases} \\\Rightarrow 12開頭的七位數共有12\times 3+6\times 2=48個偶數\\ \Rightarrow 第49個偶數是1324576、第50個偶數是1324756 ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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-- end --