108年身心障礙學生四技二專甄試-數學(B)-詳解

108學年度身心障礙學生升學大專校院甄試試題

甄試類(群)組別：四技二專組

考試科目(編號)：數學(B)

單選題，共 20 題，每題 5 分

解：
$$\begin{cases} A(-1,1)\\ B(3,x)\end{cases} \Rightarrow \overline{AB}=\sqrt{16+(x-1)^2}=5 \Rightarrow (x-1)^2=9 \Rightarrow x=4,-2，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：
$$\begin{cases} L_1\bot L_2\\ L_1斜率=2\end{cases} \Rightarrow L_2斜率為-{1\over 2}\\ 過(-1,2)斜率為-{1\over 2}的直線方程式: y-2=-{1\over 2}(x+1) \Rightarrow (3,0)在直線上，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$\theta=3882^o \Rightarrow {\theta \over 3}=1294^o = 360^o\times 3+214^o ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：
$$\begin{cases} a=2^\pi \\b=2^\sqrt{2}\\ c=\left({1\over 2}\right)^{-{9\over 2}} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \log{a}=\pi\log{2} \\\log{b}=\sqrt{2}\log{2}\\ \log{c}={-{9\over 2}}\log{1\over 2}={{9\over 2}}\log{2} \end{cases} \Rightarrow c>a>b(\because {9\over 2}>\pi >\sqrt{2})，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\log{m^2n\over 10} =\log{(m^2n)}-\log{10} =2\log{m}+\log{n}-1=2\times 3+5-1=10，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$m=1+3+5+\cdots+21 = \sum_{n=1}^{11}{(2n-1)} = 2\sum_{n=1}^{11}{n} -\sum_{n=1}^{11}{1} = 12\times 11-11\\ \Rightarrow {m\over 11} ={12\times 11-11\over 11} = 12-1=11，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$\require{enclose} \begin{array}{rll}     1+0+1  \\[-3pt]    1+0-2 \enclose{longdiv}{1+0-1+0-2}\kern-.2ex \\[-3pt]       \underline{1+0-2\phantom{0000000}}  \\[-3pt]       1+0-2\  \\[-3pt]       \underline{1+0-2}  \\[-3pt]       \phantom{0}0   \end{array} \Rightarrow x^4-x^2-2=(x^2-2)(x^2+1)\\ \Rightarrow {x^4-x^2-2 \over x^2-2} =(x^2+1) +{0\over x^2-2} \Rightarrow P(x)=x^2+1, Q(x)=0，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$\begin{cases} 2x-y=0 \cdots(1) \\7x+4y=5 \cdots(2)\end{cases},由(1)可得y=2x,再代入(2)\Rightarrow 7x+8x=5 \Rightarrow x={1\over 3} \\\Rightarrow y=2\times {1\over 3}={2\over 3} \Rightarrow x+y={1\over 3}+{2\over 3}=1，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：
$$\begin{vmatrix}  1 & 5 & 25 \\ 1 & 7 & 49 \\ 1 & 11 & 121\end{vmatrix} = 7\times  121+11\times 25 +5\times 49 -7\times 25- 5\times 121-11\times 49 \\=2\times 121+4\times 25-6\times 49 =242 + 100-294 = 48 ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$3x^2-2x \ge 1 \Rightarrow 3x^2-2x-1\ge 0 \Rightarrow (3x+1)(x-1) \ge 0 \Rightarrow x\ge 1或x \le -{1\over 3}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$C^{20}_2= {20! \over 2!18!} =190，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\vec{a}\bot \vec{b} \Rightarrow \vec{a}\cdot \vec{b}=0 \Rightarrow (7,x-1)\cdot (3,7)=0 \Rightarrow 21+7x-7=0 \Rightarrow x=-2，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：
$$x^2+y^2+4x-2y-11=0  \Rightarrow (x^2+4x+4)+(y^2-2y+1)-11-4-1=0\\ \Rightarrow (x+2)^2+ (y-1)^2= 4^2 \Rightarrow 圓心(-2,1)，半徑為4，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：
由焦點坐標可知圖形為左右型，且中心點O的坐標為(0,-2)；
中心點至焦點距離為$6\Rightarrow   c=6$；
圖上任一點至兩焦點距離和為20$\Rightarrow  2a=20 \Rightarrow  a=10$
由$a^2=b^2+c^2   \Rightarrow   100=b^2+36   \Rightarrow b=8$，因此橢圓方程式為 $${x^2\over 10^2} +{(y+2)^2\over 8^2}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$\sin{11°}\cos{19°} -\cos{11°}\sin{19°} =\sin{(11°-19°)}=-\sin{8°}，故選\bbox[red,2pt]{(無正確選項)}$$ 註:   公佈的答案是(A),應該是錯誤

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解： $$A與B相互獨立，則P(A\cap B)=P(A)\times P(B)；0.4\times 0.5=0.2 符合此條件，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：
10個數值從小排到大為{2,6,9,9,10,13,18,19,20,42}，中位數為第5與第6的平均，即$(10+13)\div 2=11.5$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解：
點數和為7：(1,6), (2,5),  (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)，共6種；
點數和為10：(4,6), (5,5),  (6,4)，共3種；
因此點數和為7或10的機率為${6+3 \over  36}={1\over  4}$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $$f(x)=(3x^2+2x-5)(2x+1) \Rightarrow f'(x)=(6x+2)(2x+1)+2(3x^2+2x-5) \\ \Rightarrow f'(0)=2-10=-8，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\int_{-1}^2{(2x-1)^2}dx= \int_{-1}^2{(4x^2-4x+1)}dx = \left. \left[ {4\over 3}x^3-2x^2+x \right] \right|_{-1}^2 \\=({32\over 3} -8+2)-(-{4\over 3}-2-1) = {14\over 3} +{13\over 3} = 9，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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