106年身心障礙學生大學甄試-數學甲-詳解

106學年度身心障礙學生升學大專校院甄試試題

甄試類(群)組別：大學組

考試科目(編號)：數學甲

單選題，共 20 題，每題 5 分

解：
$$f(x)=(ax+b)(x^2-2x-3)-x+2 = (ax+b)(x-3)(x+1)-(x-2)\\ \Rightarrow \begin{cases} f(3)=-1\\f(1)=-4(a+b)+1\\f(0)=-3b+2\\ f(-1)=3>0 \end{cases}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：
$$\begin{bmatrix}a & b \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 3 & 5\\ 1& 4& 9 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}a+b & 3a+4b &5a+9b \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}5 & 9 &x \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{cases} a+b=5\\ 3a+4b=9 \\ 5a+9b=x \end{cases} \\\Rightarrow \begin{cases} a=11\\ b=-6 \\ 5a+9b=x \end{cases} \Rightarrow x=55-54=1，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\begin{cases} P(5,3,2)\\ L:\begin{cases} x=1+3t\\ y=2+2t\\ z=3+t\end{cases}\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} P(5,3,2)\\ \begin{cases}Q(1,2,3)在L上\\ \vec{v}=(3,2,1)為L之方向向量\end{cases}\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}\vec{u}=\overrightarrow{QP} =(4,1,-1)\\ \vec{v}=(3,2,1)\end{cases}\\ \Rightarrow \vec{n}=\vec{v}\times\vec{u}=(-3,7,-5) \Rightarrow \vec{n}與E垂直，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：
$$\begin{cases}|x-8|+|x+4|=12\\ 3|x-8|=5|x+4|\end{cases}\xrightarrow{a=|x+8|,b=|x+4|} \begin{cases}a+b=12\\ 3a=5b\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}a=15/2\\ b=9/2\end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases}|x-8|=15/2\\ |x+4|=9/2\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \begin{cases}x-8=15/2\\ x-8=-15/2\end{cases}\\ \begin{cases}x+4= 9/2\\ x+4=-9/2\end{cases}\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \begin{cases}x=31/2\\ x=1/2\end{cases}\\ \begin{cases}x= 1/2\\ x+4=-17/2\end{cases}\end{cases} \Rightarrow x={1\over 2}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\begin{cases}x+y+z=1\cdots(1)\\ x+2y+3z=2 \cdots(2)\\ax+by+cz=0 \cdots(3)\end{cases} \xrightarrow {(1)+(2)+(3)}\begin{cases}x+y+z=1\\ x+2y+3z=2 \\(a+2)x+(b+3)y+ (c+4)z=0 \cdots(4)\end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases}(1)\\ (2)\\(3)\end{cases} 與\begin{cases}(1)\\ (2)\\(4)\end{cases} 有相同解，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\begin{cases} A(-1,0)\\ B(0,-2)\\ C(0,8)\end{cases} \Rightarrow 圓心在\overline{BC}的中垂線L:y=3上 \Rightarrow 圓心O(x, 3) \Rightarrow \overline{AO}=\overline{BO}\\ \Rightarrow (x+1)^2+3^2 = x^2+5^2 \Rightarrow 2x+10=25 \Rightarrow x={15\over 2} \Rightarrow O({15\over 2}, 3)在第1象限，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\log{(x+3)}= \log{x}+3=\log{x}+\log{1000}=\log{1000x} \Rightarrow x+3=1000x \Rightarrow x={1\over 333}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$50(1+{r\over 100})^5 = 60 \Rightarrow (1+{r\over 100})^5= {6\over 5} \Rightarrow 55(1+{r\over 100})^{10} = 55\times ({6\over 5})^2 =55\times {36\over 25}= 79.2\\，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：
$$\begin{cases} p_1={C^5_1\times C^5_1 \over C^{10}_2} ={5\over 9}\\ p_2={C^{10}_1\times C^{10}_1 \over C^{20}_2} ={10\over 19} \\ p_3={C^{15}_1\times C^{15}_1 \over C^{30}_2} ={15\over 29}\end{cases} \Rightarrow p_1> p_2 >p_3，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：
$$\vec{v}=(5,12) \Rightarrow |\vec{v}|=13 \Rightarrow 13\cos{\alpha}=7 \Rightarrow \cos{\alpha} = \frac{7}{13}\\ {1\over 2}< {7\over 13}< {\sqrt{2}\over 2} \Rightarrow \cos{\pi \over 3} <\cos{\alpha} < \cos{\pi\over 4} \Rightarrow {\pi \over 3}> \alpha > {\pi \over 4} ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$先選取第1對兄妹，剩下3男任選1位(有3種選法)及剩下2女任選1位(有2種選法)，\\因此恰選出第1對兄妹有3\times 2=6種選法；\\同理恰選出第2對兄妹也有6種選法、恰選出第3對及恰選出第4對兄妹都是各6種選法；\\因此機率為{4\times 6\over C^4_2\times C^4_2}= {24\over 36} ={2\over 3}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：
$$\cos{\angle A} ={\overline{AB}^2+\overline{AC}^2 -\overline{BC}^2 \over 2\times \overline{AB}\times \overline{AC}} \Rightarrow {\sqrt{3} \over 2}={15^2+x^2-(20\sqrt{3}-x)^2 \over 30x} ={40\sqrt{3}x -975 \over 30x}\\ \Rightarrow 30\sqrt{3}x =80\sqrt{3}x-1950  \Rightarrow x={1950 \over 50\sqrt{3}} =13\sqrt{3}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\begin{cases}x^3+ax^2+bx+c = 0\cdots(1)\\x^3+bx^2 +ax+c =0\cdots(2) \end{cases} \Rightarrow (1)-(2) \Rightarrow (a-b)x^2+(b-a)x=0 \\ \Rightarrow (a-b)(x^2-x)=0 \Rightarrow (a-b)x(x-1)=0 \Rightarrow 兩共同實根為0,1\\ \Rightarrow x^3+ax^2+bx+c =x(x-1)(x+3) =x^3+2x^2-3x \Rightarrow \begin{cases}a=2\\ b=-3\\c=0 \end{cases}\\ \Rightarrow x^3+bx^2 +ax+c = x^3-3x^2+2x =x(x-1)(x-2) \Rightarrow 另一根為 2， 故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

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解： $$\sec{\theta}=\tan{\theta}+2 \Rightarrow {1\over \cos{\theta}} ={\sin{\theta} \over \cos{\theta}}+2 \Rightarrow 1=\sin{\theta} + 2\cos{\theta} \Rightarrow \sin{\theta}=1-2\cos{\theta} \\ \Rightarrow \sin^2{\theta} =(1-2\cos{\theta})^2 \Rightarrow 1-\cos^2{\theta}=1-4\cos{\theta}+4\cos^2{\theta} \Rightarrow 5\cos^2{\theta}-4\cos{\theta}=0\\ \Rightarrow \cos{\theta}(5\cos{\theta}-4)=0 \Rightarrow \cos{\theta}={4\over 5}(\cos{\theta} \ne 0) \Rightarrow \sin{\theta}=1-2\times{4\over 5} =-{3\over 5} \\ \Rightarrow \begin{cases}\sin{\theta}<0 \\ \cos{\theta}>0 \end{cases} \Rightarrow {\theta}在第四象限，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：

$$若|z_1|=|z_2| \Rightarrow z_1+z_2的幅角為(40^o+80^o)\div 2=60^o；\\現在|z_1|>|z_2| \Rightarrow  z_1+z_2的幅角<60^o，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：

$$\begin{cases}20\%有瑕疵 \Rightarrow \begin{cases}20\%\times {3\over 4}= 15\%被檢測有瑕疵 \\ 20\% \times {1\over 4}= 5\%被檢測無瑕疵 \end{cases}\\ 80\%無瑕疵 \Rightarrow \begin{cases}80\% \times {3\over 4}= 60\%被檢測無瑕疵 \\ 80\% \times {1\over 4}= 20\%被檢測有瑕疵 \end{cases} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 35\%被檢測有瑕疵 \\65\%被檢測無瑕疵 \end{cases}\\ \Rightarrow {(被檢測有瑕疵中實際有瑕疵)占全體比率 \over 被檢測有瑕疵占全體比率} ={ 15\%\over 35\%}={3\over 7}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：
$$x^2+y^2+2x-2my+m^2 =12 \Rightarrow (x+1)^2+ (y-m)^2 =13 \Rightarrow 圓心O(-1,m)，半徑r=\sqrt{13}\\ 圓心至直線的距離等於半徑長\Rightarrow \left|{-3+2m-6 \over \sqrt{3^2+2^2}} \right| =\sqrt{13} \Rightarrow (2m-9)^2 = 13^2 \\\Rightarrow (2m-22)(2m+4)=0 \Rightarrow m=-2 (11不合,\because m為負數) ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：
$$\begin{cases}L:2x+3y=6 \Rightarrow 斜率為-{2\over 3} \Rightarrow L\bot N \\ L\xrightarrow{向上平移2單位}L':2x+3(y-2)=6 \Rightarrow L':2x+3y=12 \end{cases}\\ \Rightarrow \overline{PQ}=dist(L,L')= \left|{6\over \sqrt{2^2+3^2}} \right| ={6\over \sqrt{13}}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\begin{cases}\vec{u}=(8,8,4)  \\ \vec{v}=(2,-4,4) \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}t\vec{u}=(8t,8t,4t)  \\ (1-t)\vec{v}=(2(1-t),-4(1-t),4(1-t)) =(2-2t,-4+4t,4-4t)\end{cases} \\\Rightarrow |t\vec{u}+(1-t)\vec{v}| = |(2+6t,-4+12t,4)| =\sqrt{(6t+2)^2+(12t-4)^2+4^2} \\ =\sqrt{180t^2-72t+36} =\sqrt{180(t^2-{2\over 5}t +{1\over 5})} = \sqrt{180(t^2-{2\over 5}t +{1\over 25})+{144\over 5}} \\ = \sqrt{180(t-{1\over 5})^2 +{144\over 5}}\xrightarrow {t=1/5} \sqrt{0 +{144\over 5}}=\sqrt{28.8} \Rightarrow 5=\sqrt{25}<\sqrt{28.8}< \sqrt{36}=6，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：
$$a_n=\cos{\left({\pi \over 12}+ {(n-1)\pi\over 6} \right)},n=1-12 \Rightarrow a_n=\cos{\left(15^o+ (n-1)\times 30^o \right)},n=1-12 \\ \Rightarrow \begin{cases} a_1=\cos{15^o} & a_2=\cos{45^o} & a_3=\cos{75^o} & a_4=\cos{105^o}\\ a_5=\cos{135^o} & a_6=\cos{165^o} & a_7=\cos{195^o} & a_8=\cos{225^o}\\ a_9=\cos{255^o} & a_{10}=\cos{285^o} & a_{11}=\cos{315^o} & a_{12}=\cos{345^o} \end{cases}\\ \cos{\theta}=\cos{(360^o-\theta)} \Rightarrow \begin{cases} a_1=a_{12} & a_2=a_{11} & a_3=a_{10} \\ a_4=a_{9} &a_5=a_{8} &a_6=a_{7}  \end{cases} \Rightarrow 剩下6個相異值 ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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-- end --