108年身心障礙學生大學甄試-數學乙-詳解

108學年度身心障礙學生升學大專校院甄試試題

甄試類(群)組別：大學組

考試科目(編號)：數學乙

單選題，共 20 題，每題 5 分

解：$$|x-1|\le 5 \Rightarrow -5\le x-1\le 5 \Rightarrow -4\le x\le 6 \Rightarrow x=-4,-3,\dots, 6,共11個\\
x=6 不滿足條件|x-1|\le |x-9|,其餘10個數皆符合條件，故選\bbox[red,2pt]{(B)} $$

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解：
$$f(x)=p(x)(x-1)^2+(x+1) \Rightarrow f(1)=0+(1+1)=2，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：$$\begin{cases} a=3^{20}+3^{21}=3^{20}(1+3)=4\times 3^{20}\\ b=36\times 3^{18} =4\times 3^2\times 3^{18}=4\times 3^{20}\\ c=3^{22}-3^{21} =3^{21}(3-1)= 2\times 3^{21}=6\times 3^{20}\end{cases} \Rightarrow c>b=a，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：

$$假設A在原點，B在位置b，C在位置c，則\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC} =\overrightarrow{BC} \Rightarrow b+2c=c-b \Rightarrow  2b+c=0 \\ \Rightarrow\begin{cases} b,c異號\Rightarrow A在B,C之間 \\ 2\overline{AB} =\overline{AC} \Rightarrow \overline{AB}:\overline{AC} =1:2\end{cases}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：$$(\vec{u}+\vec{v})與(\vec{u}-2\vec{v})垂直 \Rightarrow (\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-2\vec{v})=0 \Rightarrow |\vec{u}|^2 -\vec{u}\cdot\vec{v}-2|\vec{v}|^2 =0  \\\Rightarrow (\sqrt{6})^2-\vec{u}\cdot\vec{v}-2\times 2^2=0 \Rightarrow \vec{u}\cdot\vec{v}=6-8=-2，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)= P(A)+P(B)-P(A)P(B)= {1\over 2}+{1\over 3} -{1\over 2}\times{1\over 3}={2\over 3}\\，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：$$\begin{cases} [\mu-\sigma,\mu+\sigma]=68\% \Rightarrow [\mu,\mu+\sigma]=34\%\\ [\mu-2\sigma,\mu+2\sigma]=95\% \Rightarrow [\mu,\mu+2\sigma] = 47.5\% \end{cases} \Rightarrow [\mu+\sigma,\mu+2\sigma]=47.5\%-34\%=13.5\%\\
\Rightarrow [\mu-\sigma,\mu+\sigma]+[\mu+\sigma,\mu+2\sigma]=68\%+13.5\%=81.5\% \Rightarrow [\mu-\sigma,\mu+ 2\sigma]= 81.5\%\\ \Rightarrow [50-4,50+2\times 4]=81.5\%，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：$$\begin{cases}y=x^2-4 \Rightarrow 頂點A=(0,-4)\\y=1-x^2 \Rightarrow 頂點B=(0,1)\end{cases} \Rightarrow \overline{AB}=5，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：$$f(x)=(ax+b)(x-1)(x-2)+5 \Rightarrow \begin{cases}f(4)=-7 \\ f(5)=-7\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}6(4a+b)+5=-7 \\ 12(5a+b)+5=-7\end{cases} \\ \Rightarrow \begin{cases}4a+b=-2 \\ 5a+b=-1\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}a=1 \\ b=-6\end{cases}  \Rightarrow f(x)=(x-6)(x-1)(x-2)+5 \\\Rightarrow f(0)=-12+5=-7，故選\bbox[red,2pt]{(A)} $$

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解：$$\log_2{a}-\log_2{3} =\log_2{a\over 3}=m,m為整數 \Rightarrow a=3\times 2^m \Rightarrow 1\le 3\times 2^m\le 100 \\\Rightarrow {1\over 3}\le 2^m \le {100\over 3} \Rightarrow m=0,1,\dots,5,共有6個，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：$$ABCD為一梯形 \Rightarrow ABCD面積={(\overline{AD}+\overline{BC})(6-2)\over 2} =2(\log{4}-\log{2}+\log{12}-\log{6}) \\= 2(2\log{2}-\log{2}+2\log{2}+\log{3}-\log{3}-\log{2})=4\log{2}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：$$\begin{cases} 兩次都是紅燈的機率:{1\over 2}\times {1\over 2}={1\over 4}\\ 兩次都是綠燈的機率:{1\over 3}\times {1\over 3}={1\over 9} \\兩次都是黃燈的機率:{1\over 6}\times {1\over 6}={1\over 36}\end{cases} \Rightarrow 期望值=200({1\over 4}+ {1\over 9} +{1\over 36}) =200 \times {14\over 36} \approx 77.8\\，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：
$$\begin{array}{rrr}
\sqrt[3]{abc} & abc & (a,b,c)\\\hline
2 & 8 & (1,2,4)\\
3 & 27 & (1,3,9)\\
4 & 64 & (2,4,8)\\
6 & 216 &(4,6,9)\\\hline
\end{array} \Rightarrow 只有4種取法，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：
前100次的打擊率為0.260\(\Rightarrow  \)安打數為\(100\times   0.26=26\)；假設後150次打數有\(a\)次安打，則\({26+a \over   100+150}\ge   0.3   \Rightarrow   a\ge   75-26=49\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)

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解：$$L:\begin{cases} x=1+t\\ y=-1-2t\\ z=3+2t \end{cases} \Rightarrow L的方向向量\vec{u}=(1,-2,2)
\\ 假設平面的法向量為\vec{n},若平面與L不相交,則\vec{u}\cdot\vec{n}=0,且L不在平面上\\
(A) \vec{n}=(2,2,1) \Rightarrow \vec{u}\cdot \vec{n}=0, 但2(1+t)+2(-1-2t)+(3+2t)=3\Rightarrow L在平面上\\
(B)\vec{n}=(2,-1,-2) \Rightarrow \vec{u}\cdot \vec{n}=0, 且2(1+t)-(-1-2t)-2(3+2t)=-3\ne 3\Rightarrow L不在平面上\\
(C)\vec{n}=(2,2,-1) \Rightarrow \vec{u}\cdot \vec{n}= 2-4-2=-4\ne 0\\
(D)\vec{n}=(2,1,-1) \Rightarrow \vec{u}\cdot \vec{n}=2-2-2=-2\ne 0，\\故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：

聯立不等式所圍的區域如上圖，其中各頂點分別為A、B、C、D；
$$將C=(20/3,4/3)代入6x+9y=40+12=52為最大值，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：$$\begin{bmatrix} 11& 3\\ 6& 3\end{bmatrix}A =\begin{bmatrix} 5& 2\\ -2& 4\end{bmatrix} \Rightarrow det\left( \begin{bmatrix} 11& 3\\ 6& 3\end{bmatrix}\right)det(A)=det\left( \begin{bmatrix} 5& 2\\ -2& 4\end{bmatrix}\right)\\ \Rightarrow 15\times det(A)= 24 \Rightarrow det(A)={24\over 15}= {8\over 5}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：$$\begin{cases}贊成的有m人\Rightarrow  \begin{cases}1-4月出生的有m/3人\\ 5-12月出生的有2m/3人  \end{cases}\\ 不贊成的有500-m人  \begin{cases}1-4月出生的有(500-m)/3人\\ 5-12月出生的有2(500-m)/3人  \end{cases} \end{cases} \Rightarrow  \begin{cases} m/3+2(500-m)/3=200 \\ 2m/3+(500-m)/3=300  \end{cases}\\ \Rightarrow m=400\Rightarrow 贊成比率: 400/500=80\%，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：$$\begin{cases}小明在時間t的位置為A=(t,2t)\\ 小華在時間t的位置為B=(40-2t, t)  \end{cases} \Rightarrow  \overline{AB}= \sqrt{(40-3t)^2+t^2} = \sqrt{10t^2 -240t+1600}\\ =\sqrt{10(t^2-24t+12^2)+160} =\sqrt{10(t-12)^2+160} \Rightarrow \overline{AB}= \sqrt{160}= 4\sqrt{10}為最小值(t=12)\\，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：$$被評為及格的評定方式可能為(及格,及格)、(不及格,及格)及(及格,不及格)三種；\\被評為不及格的評定方式只有(不及格,不及格)一種；\\
1號選手通過測試，因此評定方式有3種；其他5位選手有3位及格2位不及格，評定方式有3^3=27；\\因此共有3\times C^5_3\times 27=810，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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-- end --