108年身心障礙學生四技二專甄試-數學(C)-詳解

108學年度身心障礙學生升學大專校院甄試試題

甄試類(群)組別：四技二專組

考試科目(編號)：數學(C)

單選題，共 20 題，每題 5 分

解：
$$\begin{cases} \begin{vmatrix}a&1&2 \\ b&2&3\\ c&3&4 \end{vmatrix} =5 \\\begin{vmatrix}d&1&2 \\ e&2&3\\ f&3&4 \end{vmatrix} =3\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \begin{vmatrix}3a&1&2 \\ 3b&2&3\\ 3c&3&4 \end{vmatrix} =15 \\\begin{vmatrix}2d&1&2 \\ 2e&2&3\\ 2f&3&4 \end{vmatrix} =6\end{cases} \Rightarrow \begin{vmatrix}3a&1&2 \\ 3b&2&3\\ 3c&3&4 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix}2d&1&2 \\ 2e&2&3\\ 2f&3&4 \end{vmatrix}=15-6=9，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：
$$\begin{cases} a=\sqrt{5} =5^{1\over 2} \\b=\sqrt[3]{13} =13^{1\over 3} \\c=\sqrt[6]{110} =110^{1\over 6}\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a^6=5^{3}=125 \\b^6= 13^{2} =169 \\c^6= 110\end{cases} \Rightarrow b>a>c，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$C^{16}_3=C^{16}_{2n+1} \Rightarrow 2n+1=16-3=13 \Rightarrow n=6 \Rightarrow P^n_2=P^{6}_2 ={6! \over (6-2)!} =30 ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：
$$9x^2-16y^2=-144 \Rightarrow {16y^2\over 144}-{9x^2 \over 144}=1 \Rightarrow {y^2\over 3^2}-{x^2 \over 4^2}=1 \Rightarrow a=3 \Rightarrow \left| \overline{FP} -\overline{PF'}  \right|=2a=6\\，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$P=\left({3-1\over 2},{-1+5\over 2} \right)=(1,2) \Rightarrow dist(P,3x+4y=1)=\left|{3+8-1 \over \sqrt{3^2+4^2}} \right| ={10\over 5}=2，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\begin{cases} a=\sin{74^o}\\ b=\cos{74^o}=\sin{16^o} \\ c= \tan{74^o}>1\end{cases} \Rightarrow c>a>b，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$三內角度數分別為k,2k及3k \Rightarrow k+2k+3k=180^o \Rightarrow k=30^o \Rightarrow 三內角分別為 30^o,60^o及90^o\\ 三邊長分別為a,b及c,依正弦定理{a\over \sin{30^o}} = {b\over \sin{60^o}} ={c\over \sin{90^o}} =m \Rightarrow \begin{cases} a=m/2\\ b=\sqrt{3}m/2 \\ c=m\end{cases} \\ \Rightarrow a+b+c=6 \Rightarrow m(1/2+\sqrt{3}/2+1)={3+\sqrt{3} \over 2}m=6 \Rightarrow m={12 \over 3+\sqrt{3}} \\ \Rightarrow 最大邊長c=m= {12 \over 3+\sqrt{3}} ={12(3-\sqrt{3}) \over 6} =6-2\sqrt{3}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\begin{cases} \vec{v}=(a,b)與\overrightarrow{AB}=(-3,4)同向\\ |\vec{v}|=2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} {a\over -3}= {b\over 4}\\ a^2+b^2=4 \end{cases} \Rightarrow ({-3\over 4}b)^2 +b^2=4 \Rightarrow b^2={64\over 25} \Rightarrow b=\pm {8\over 5} \\ \Rightarrow a=\mp{6\over 5} \Rightarrow \begin{cases} \vec{v}=(-6/5,8/5)\\ \vec{v}=(6/5,-8/5)(不合,與\overrightarrow{AB}反向) \end{cases}  \Rightarrow a+b= -{6\over 5}+{8\over 5}={2\over 5}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：
$$令f(x)=P(x)(x^2-x-2)+(ax+b)=P(x)(x-2)(x+1)+(ax+b)，\\由題意知\begin{cases} f(-1)=5\\ f(2)=-1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -a+b=5\\ 2a+b=-1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a=-2\\ b=3 \end{cases} \Rightarrow 餘式為-2x+3，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$(a+bi)(1-3i)=a-3ai+bi+3b = (a+3b)+(b-3a)i=7-i \Rightarrow \begin{cases} a+3b=7\\ b-3a=-1 \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} a=1\\ b=2 \end{cases} \Rightarrow a^2+b^2= 1+4=5，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$-6x^2+13x+5\ge 0 \Rightarrow 6x^2-13x-5\le 0 \Rightarrow (2x-5)(3x+1) \le 0 \Rightarrow -{1\over 3}\le x\le {5\over 2}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$\log_2{13}-{1\over 3}\log_2{125} -\log_2{13\over 35} +\log_2{x\over 7} \\= \log_2{13}-{1\over 3}\log_2{5^3} -\log_2{13} +\log_2{35} +\log_2{x} -\log_2{7}\\= -\log_2{5}+\log_2{5}+\log_2{7}+\log_2{x} -\log_2{7} =\log_2{x}=2 \Rightarrow x=4，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：
先將b排在末位，剩下5個字母排列；
首位有4種選擇，剩下4個字母任排，共有$4\times 4!=96$種排法，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解： $$\begin{cases} F_1=(1,2)\\ F_2=(1,-4)\\ 2a=10\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 中心O=(1,-1)\\ a=5\\ c=3\end{cases} \Rightarrow 5^2=b^2+3^2 \Rightarrow b=4 \Rightarrow 正焦弦長{2b^2\over a} ={32\over 5}\\，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$f(x)=(5x-3)^4 \Rightarrow f'(x)=20(5x-3)^3 \Rightarrow \lim_{x\to 1}{f(x)-f(1)\over x-1} =f'(1)= 20(5-3)^3=160\\，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\int_1^4{x^2+\sqrt{x} \over x}\,dx= \int_1^4{(x+ {1\over \sqrt{x}})}\,dx= \left. \left[ {1\over 2}x^2+2\sqrt{x} \right] \right|_1^4 = (8+4)-({1\over 2}+2)= {19\over 2}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$\begin{cases} x={1\over \sqrt{7}+\sqrt{6}} =\sqrt{7}-\sqrt{6}\\y={1\over \sqrt{7}-\sqrt{6}} =\sqrt{7}+\sqrt{6} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x+y=2\sqrt{7}\\xy=1 \end{cases} \Rightarrow x^3y+xy^3=xy(x^2+y^2) =xy((x+y)^2-2xy)\\ =(2\sqrt{7})^2-2 =28-2=26，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\sum_{n=1}^{10}{[(3n-1)+2^n]} =3\sum_{n=1}^{10}{n}-\sum_{n=1}^{10}{1}+\sum_{n=1}^{10}{2^n} =3\times 55-10+{2-2^{11}\over 1-2} = 155+ 2046 =2201\\，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：
兩枚都是10元的機率為$C^{6}_2/C^{10}_2$，期望值為$20\times   C^{6}_2/C^{10}_2$；
兩枚都是50元的機率為$C^{4}_2/C^{10}_2$，期望值為$100\times   C^{4}_2/C^{10}_2$；
1枚10元，另1枚是50元的機率為$C^{6}_1C^4_1/C^{10}_2$，期望值為$60\times   C^{6}_1C^4_1/C^{10}_2$；
期望值為$(20\times   C^{6}_2 +100\times   C^{4}_2 +   60\times   C^{6}_1C^4_1)   /C^{10}_2= 2340/45   =52$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：
數字由小到大排列：30、40、45、50、60、75、80、80、90；
中位數是第5與第6的平均，由數列可知，應是60與70的平均，因此$x=70$；
算術平均數為全部加總除以10，即$(550+x)\div   10 =620\div 10=62$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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-- end --