107年身心障礙學生四技二專甄試-數學(A)-詳解

107學年度身心障礙學生升學大專校院甄試試題

甄試類(群)組別：四技二專組

考試科目(編號)：數學(A)

單選題，共 20 題，每題 5 分

解：
$$\begin{cases} a<0\\ b<0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -{b\over a} <0\\ a^2+b^2 >0 \end{cases} \Rightarrow \left(-{b\over a}, a^2+b^2  \right)在第2象限，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：
$$直線2x+y+00=0的斜率為-2 ，因此 與其垂直的直線斜率為{1\over 2}，方程式可寫成 y={1\over 2}x+b\\ 又該直線通過(2,3) \Rightarrow 3={1\over 2}\times 2+b \Rightarrow b=2 \\\Rightarrow 直線方程式為 y={1\over 2}x+2 \equiv x-2y+4=0，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$-70^o+360^o\times 3=-70^o+1080^o =1010^o，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：
$$\sin{\theta}+\cos{\theta}={1\over 2} \Rightarrow ( \sin{\theta}+\cos{\theta})^2= {1\over 4} \Rightarrow 1+2\cos{\theta}\sin{\theta} ={1\over 4} \Rightarrow \sin{2\theta} = 2\cos{\theta}\sin{\theta}= -{3\over 4} \\，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\left( {3\times 2+2\times 3\over 3+2}, {3\times 4+2\times (-2)\over 3+2} \right) =  \left( {12\over 5}, {8\over 5} \right) =(2.4, 1.6)，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\begin{cases} \vec{a}=(2,0)\\ \vec{b}=(-\sqrt{2},\sqrt{2})\end{cases} \Rightarrow \vec{a}\cdot \vec{b}= |\vec{a}||\vec{b}|\cos{\theta} \Rightarrow -2\sqrt{2}= 4\cos{\theta} \Rightarrow \cos{\theta}=-{\sqrt{2}\over 2} \Rightarrow \theta=135^o \\，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$f(x)= ax^3+x^2+3ax+3=p(x)(x-1)+6 \Rightarrow f(1)=6 \Rightarrow a+1+3a+3=6\\ 4a=2 \Rightarrow a={1\over 2}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$f(x)= 2x^3+5x^2+3x+2 \Rightarrow \begin{cases}f(1)>0 \\ f(-1)=-2+5-3+2=2\\ f(2)>0 \\ f(-2)=-16+20-6+2=0 \end{cases}\Rightarrow x+2為因式 ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：
$$(x^2+2x)^2-(x^2+2x)+6=0 \Rightarrow (x^2+2x-3)(x^2+2x-2)=0\\ \Rightarrow (x+3)(x-1)(x^2+2x+2)=0 \Rightarrow x=1,-3 ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：
$$\log_2{1\over 4} +\log_3{27} -\log_7{49} =\log_2{2^{-2}} +\log_3{3^3}-\log_7{7^2} =-2+3-2=-1，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$x\le -3或x\ge 2 \Rightarrow (x+3)(x-2)\ge 0 \Rightarrow x^2+x-6\ge 0 \equiv x^2+bx+c \\\Rightarrow \begin{cases} b=1\\ c=-6 \end{cases} \Rightarrow 6b+3c=6-18=-12，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：
$$(2t-3+5)(-4-t+5)<0 \Rightarrow (2t+2)(-t+1)<0 \Rightarrow (t+1)(t-1)>0 \Rightarrow t>1或t<-1\\，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：
$$\begin{cases} 1\le x\le 2\\ -4\le y\le 3\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} A(1,-4)\\ B(1,3)\\ C(2,-4)\\ D(2,3)\end{cases}\Rightarrow \begin{cases} f(A)=22\\ f(B)=-13\\ f(C)=24\\ f(D)=-11\end{cases} \Rightarrow 24為最大值， 故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

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解： $$O(4,-3)為圓心的方程式: (x-4)^2+(y+3)^2=r^2，過P(7,1) \Rightarrow 3^2+4^2=5^2=r^2 \Rightarrow r=5\\，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：
$$x^2+y^2-4x-6y-12=0 \Rightarrow (x-2)^2+(y-3)^2=5^2 \Rightarrow 圓心O(2,3),半徑r=5\\ \Rightarrow \overline{AO}=\sqrt{4^2+3^2}=5=r，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\begin{cases} a_1=4\\ a_9=a_1+8d=60 \Rightarrow d=7\end{cases} \Rightarrow a_5=a_1+4d=4+28=32，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：
$$\begin{cases} a_1=3\\ a_n=a_1r^{n-1}=729 \Rightarrow r^{n-1}=243=3^{5} \\S={a_1(1-r^n)\over 1-r}=1092 \Rightarrow {1-r^n \over 1-r}=364\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} r=3\\ n=6 \end{cases}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\begin{cases} 個位數是0 \Rightarrow 千位數有7種選擇、百位數有6種選抽擇、十位數有5種選擇\\ 個位數是5\Rightarrow 千位數有6種選擇、百位數有6種選抽擇、十位數有5種選擇 \end{cases} \\ \Rightarrow 共有7\times 6\times 5+6\times 6\times 5=210+180=390個四位數，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$40-(30+28-20)=40-38=2，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：
$$六人排一列，共有6!排法；甲與乙相鄰，共有5!\times 2種排法；\\甲與乙不相鄰的機率={6!-5!\times 2\over 6!}={6-2\over 6}={2\over 3}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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-- end --