106年地方特考-三等-衞生技術-生物統計學-詳解

106年特種考試地方政府公務人員考試

等 別：三等
類 科 ：衛生技術、漁業技術、養殖技術
科 目：生物統計學

解：
$$\begin{cases} H_0:\mu\le 1.1 \\ H_0:\mu >1.1 \end{cases}\\ \Rightarrow 檢定統計量t={\bar{x}-\mu \over \sigma/\sqrt{n} }= { 1.3-1.1\over 0.4/\sqrt{25}}=2.5 \\
題目已附雙尾檢定t_{\alpha=0.05,df=24}=2.064 \Rightarrow 單尾檢定t_{\alpha=0.025,df=24}=2.064 \\\Rightarrow 拒絕區域R=\{t\mid t>2.064\} \Rightarrow 2.5 \in R \Rightarrow 拒絕H_0，主人宣稱為\bbox[red, 2pt]{正確}$$

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解：$$已知\begin{cases}男生=\{x_1,x_2,\dots,x_{20}\}且\mu_x=155,\sigma_x=7\\ 女生=\{y_1,y_2,\dots,y_{15}\}且\mu_y=157, \sigma_y=5 \\全班=\{z_1=x_1,z_2=x_2,\dots,z_{20}=x_{20},z_{21}=y_1,z_{22}=y_2,\dots ,z_{35}=y_{15} \}\end{cases}$$(一)$$\mu_z={20\times \mu_x+15\times \mu_y \over 20+15} = {20\times 155+15\times 157 \over 35} = 155.86\approx 155.9\\答:全班平均身高為\bbox[red, 2pt]{155.9} 公分$$(二)$$已知\begin{cases}\sigma_x=7\Rightarrow Var(X)=7^2=49 =E(X^2)-\mu_x^2 \Rightarrow E(X^2)=49+155^2=24074\\ \sigma_y=5 \Rightarrow Var(Y)=5^2=25=E(Y^2)-\mu_y^2 \Rightarrow E(Y^2)= 25+157^2=24674\end{cases}\\
\Rightarrow Var(Z)=E(Z^2)-\mu_z^2={20E(X^2) +15E(Y^2) \over 20+15}-155.86^2 ={20\times 24074+15\times 24674\over 35}=38.80 \\ \Rightarrow \sigma_z=\sqrt{Var(Z)} =\sqrt{38.8} =6.23 \Rightarrow 全班標準差為\bbox[red, 2pt]{6.2}公分$$(三)$$已知\begin{cases}CV(X)=\sigma_x/\mu_x=7/155 =0.04516 =5\%\\ CV(Y)=\sigma_y/\mu_y =5/157=0.03185=3\% \end{cases}
\Rightarrow \begin{cases}男生變異係數為\bbox[red, 2pt]{5\%}\\ 女生變異係數為 \bbox[red, 2pt]{3\%} \end{cases}$$

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解：
(一)$$\begin{cases}P(A)=吃了煎魚的機率=120/200\\ P(B)=嘔吐機率= 110/200\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}P(A\cap B)=吃了煎魚且嘔吐的機率=90/200\\ P(A\cup B)=吃了煎魚或嘔吐的機率= 140/200\end{cases}\\
\Rightarrow \bbox[red, 2pt]{\begin{cases}P(A)=3/5\\ P(B)=11/20\\ P(A\cap B)=9/20\\ P(A\cup B)=7/10\end{cases}} $$(二)$$\begin{cases} P(A)\times P(B)={3\over 5}\times {11\over 20}= {33\over 100}\\ P(A\cap B)={9\over 20} \end{cases} \Rightarrow P(A\cap B)\ne P(A)\times P(B) \Rightarrow 兩事件\bbox[red, 2pt]{非獨立}$$

(三)$$\begin{cases} P(A)+P(B)={3\over 5}+ {11\over 20} = {23 \over 20}\\ P(A\cup B)={7\over 10} \end{cases} \Rightarrow P(A\cup B)\ne P(A)+ P(B) \Rightarrow 兩事件\bbox[red, 2pt]{非互斥}$$(四)$$\begin{array}{c|l|l|c}
 & 有嘔吐 & 沒嘔吐& 加總\\\hline
有吃魚& O_1=90, &O_2=30 & 120\\
&E_1=120\times {110\over 200}=66 & E_2=120\times {90\over 200}=54&\\\hline
沒吃魚& O_3=20 & O_4=60 & 80\\
& E_3=80\times {110\over 200}=44& E_4=80\times {90\over 200}=36&\\\hline
加總 & 110 & 90 & 200
\end{array}\\\Rightarrow 卡方統計量\chi^2=\sum_{i=1}^4{(O_i-E_i)^2\over E_i} = {(90-66)^2\over 66 }+ {(30-54)^2\over 54 }+{(20-44)^2\over 44 }+{(60-36)^2\over 36 }\\ = \bbox[red, 2pt]{48.48}$$

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解：
(一)$$\begin{cases}
{A\over 1}=2154.744 \Rightarrow A=2154.744\\ {147.756 \over B}=18.470 \Rightarrow B={147.756 \over 18.47}=8\\ C={2154.744 \over 18.470}=116.662\\ D={0.126\over 0.012} =10.5
\end{cases} \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{ \begin{cases}
A=2154.744\\  B=8\\ C=116.662\\ D=10.5
\end{cases}}$$(二)$$r=\pm\sqrt{2154.744 \over 2302.5} =\pm 0.967，由於迴歸直線斜率0.126為正值，所以\bbox[red,2pt]{r=0.967}$$(三)$$由於迴歸直線斜率的95\%信賴區間為[0.099,0.152]，並不包含0\\，所以酒精攝取量與憂鬱症狀有\bbox[red, 2pt]{顯著相關}；\\又斜率為正值，表示酒精攝取量與憂鬱症狀為\bbox[red,2pt]{正相關}。$$

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考選部未公布答案，解題僅供參考