106年身心障礙學生四技二專甄試-數學(S)-詳解

106學年度身心障礙學生升學大專校院甄試試題

甄試類(群)組別：四技二專組

考試科目(編號)：數學(S)

單選題，共 20 題，每題 5 分

解：
$$\begin{cases}P(2,-5)\\ Q(-3,7)\end{cases} \Rightarrow \overline{PQ} =\sqrt{5^2+12^2} =13，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：
$$\begin{cases}a=\sin{(-60^o)}=-\sin{(60^o)} =-{\sqrt{3}\over 2}\\ b=\sec{(-60^o)}={1\over \cos{(-60^o)}} ={1\over \cos{(60^o)}}=2 \\c=\cos{(225^o)} = -\cos{(45^o)} =-{\sqrt{2}\over 2}\end{cases} \Rightarrow b>c>a，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\sin{x}週期為2\pi \Rightarrow  \sin{-x+1}週期仍為2\pi，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：
$$x^2-x+4=0 \Rightarrow 判別式=1-16=-15<0 ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\log_{27}{3\sqrt{27}} = \log_{27}{3} +\log_{27}{\sqrt{27}} =\log_{27}{27^{1/3}} +\log_{27}{27^{1/2}} =1/3+1/2=5/6，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$(x+1)(x-3) +y(y-4)=1 \Rightarrow (x-1)^2+(y-2)^2=3^2 \Rightarrow 圓半徑=3 \Rightarrow 圓面積=9\pi\\，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$a_5=S_5-S_4 = (50-15)-(32-12) =35-20=15，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$(1,3)、(1,5)、(3,5)、(2,4)，共4種選法，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：
$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) \Rightarrow P(A\cap B)= \frac{1}{2} +\frac{2}{3}-\frac{4}{5}=\frac{11}{30}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：
$$\begin{cases} p(兩正面)=1/4\\ p(一正一反)=1/2 \\ p(兩反面)=1/4\end{cases} \Rightarrow 期望值=12\times (1/4)+4\times (1/2)-8\times(1/4)=3，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$L:y=mx+b \Rightarrow \begin{cases} 過(2,-1)\\ 過(4,5)\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -1=2m+b \\ 5=4m+b \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} m=3 \\ b=-7 \end{cases} \Rightarrow L:y=3x-7 \\\Rightarrow 2x+6y=3的斜率為-{1\over 3}與L的斜率3相乘=(-1/3)\times 3=-1 \Rightarrow 相互垂直，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：
$$\sin{2x}=\cos{x} \Rightarrow 2\sin{x}\cos{x}=\cos{x} \Rightarrow \begin{cases} \cos{x} =0\\ 2\sin{x}=1\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x =\pi/2,3\pi/2\\ x=\pi/6,5\pi/6\end{cases} \Rightarrow 共4個交點\\，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：
$$\begin{cases} A(-1,2)\\ B(3,0)\\ C(2,3)\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \overrightarrow{AB} =(4,-2)\\ \overrightarrow {AC}=(3,1)\end{cases} \Rightarrow \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}|  |\overrightarrow{AC}|\cos{\theta} \Rightarrow \cos{\theta}= {12-2 \over \sqrt{16+4}\sqrt{9+1}}\\= {1\over \sqrt{2}}\Rightarrow \theta=45^o， 故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

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解：
$$f(x)= (x^2-x+2)(2x+1)+(x+3) = 2x^3-x^2+4x+5 \\ 利用長除法\Rightarrow f(x)=(x^2-1)(2x-1)+(6x+4)，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：

$$x^2+y^2 -2x+4y =4 \Rightarrow (x-1)^2+(y+2)^2=3^2 \Rightarrow 圓心O(1,-2)，半徑r=3 \\\Rightarrow \overline{OC}= dist(O,x-2y=10) = \left| {1+4-10\over \sqrt{1^2+2^2}}\right| = \sqrt{5} \Rightarrow \overline{BC}=\sqrt{3^2-(\sqrt{5})^2} =2 \\\Rightarrow \overline{AB}=2\overline{BC} =4，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：
$$\begin{cases}\vec{a}=(\cos{75^o},\sin{75^o})\\ \vec{b}= (\cos{15^o},\sin{15^o})\end{cases} \Rightarrow \vec{a}\cdot\vec{b} =\cos{75^o}\cos{15^o} +\sin{75^o}\sin{15^o} = \cos{(75^o-15^o)} \\ =\cos{60^o}={1\over 2}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：
$$取出2個紅色籌碼的機率為{C^2_2\over C^5_2}、取出2個黃色籌碼的機率為{C^3_2\over C^5_2} \\\Rightarrow 取出不同顏色籌碼的機率為1-{C^2_2\over C^5_2}- {C^3_2\over C^5_2} = 1-{1\over 10}-{3\over 10}={3\over 5}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：
$$n^2+n-3\le 0 \Rightarrow (n+\frac{1}{2})^2\le \frac{13}{4} \Rightarrow -\frac{\sqrt{13}}{2}\le n+\frac{1}{2} \le \frac{\sqrt{13}}{2}\\ \Rightarrow \frac{-\sqrt{13}-1}{2}\le n\le \frac{\sqrt{13}-1}{2} \approx -2.3\le n\le 1.3 \Rightarrow n=-2,-1,0,1，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $${10\times 65+15\times 60 \over 10+15} ={1550\over 25}=62，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：
$${\overline{A_1B_1} \over \overline{A_2B_2}} ={2\over 1} \Rightarrow {\triangle A_1B_1C_1 \over \triangle A_2B_2C_2} ={4\over 1} \Rightarrow \triangle A_1B_1C_1 +\triangle A_2B_2C_2 +\triangle A_3B_3C_3 =1+{1\over 4} +{1\over 16} ={21\over 16}\\，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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-- end --