106年身心障礙學生大學甄試-數學乙-詳解

106學年度身心障礙學生升學大專校院甄試試題

甄試類(群)組別：大學組

考試科目(編號)：數學乙

單選題，共 20 題，每題 5 分

解：
$$f(x)=p(x)(x^2-3x+2)+(x-1) =p(x)(x-2)(x-1)+(x-1) \\\Rightarrow g(x)=3f(x)+4x =3p(x)(x-2)(x-1)+3(x-1)+4x \\ \Rightarrow g(2)=0 +3+8=11，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：
$$|2x-1|\le 7 \Rightarrow -7\le 2x-1 \le 7 \Rightarrow -3\le x\le 4 \Rightarrow  -2\le x+1 \le 5 \Rightarrow  |x+1| \le 5\\ \Rightarrow k=5，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$A+B-A\cap B=60-13 \Rightarrow 32+25-A\cap B=47 \Rightarrow A\cap B=10\\ \Rightarrow A-A\cap B=32-10=22，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：

$$由上圖可知\begin{cases} \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=16\\ (A)\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AC}=4\\(B)\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{AC}=(-4,0)\cdot(4,2)=-16\\(C)\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BC}=(0,2) \cdot (0,2)=4\\(D)\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{DC}=(4,0)\cdot(4,0)=16 \end{cases}\\，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

補充

$$\triangle ABC \sim \triangle AEB \Rightarrow {\overline{AC}\over \overline{AB}} = {\overline{AB} \over \overline{AE}} \Rightarrow  \overline{AE} ={ \overline{AB}^2 \over  \overline{AC}} \Rightarrow \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\overline{AE}\times \overline{AC}=\overline{AB}^2$$

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解： $$Y=-2X+1 \Rightarrow \sigma(Y) =|-2|\sigma(X) =2\sigma，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$已知8筆資料由小到大→30,35,40,47,51,60,62,67；\\ 10筆資料的中位數是由第5與第6的平均數求得，因此(x+51)\div 2=53 \Rightarrow x=55，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\begin{bmatrix} a& b\\ c& d\end{bmatrix} \Rightarrow \begin{cases} A\begin{bmatrix} 1\\ 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ 2\end{bmatrix} \\A\begin{bmatrix} -1\\ 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3\\ 4\end{bmatrix}\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \begin{bmatrix} a& b\\ c& d\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\ 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ 2\end{bmatrix} \\\begin{bmatrix} a& b\\ c& d\end{bmatrix}\begin{bmatrix} -1\\ 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3\\ 4\end{bmatrix}\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a=1\\ c=2 \\ -a+2b=3\\ -c+2d= 4\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a=1\\ c=2 \\ b=2\\ d=3\end{cases} \\ \Rightarrow A=\begin{bmatrix} 1& 2\\ 2& 3\end{bmatrix} \Rightarrow A^{-1}= {1\over det(A)}\begin{bmatrix} 3& -2\\ -2& 1\end{bmatrix}=(-1)\times\begin{bmatrix} 3& -2\\ -2& 1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -3& 2\\ 2& -1\end{bmatrix}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$f(-1)=0 \Rightarrow -1+6+9+a=0 \Rightarrow a=-14 \\\Rightarrow f(x)=x^3+6x^2-9x-14 =(x+1)(x^2+5x-14) =(x+1)(x+7)(x-2)\\ f(x)=0 \Rightarrow x=-7,-1,2 \Rightarrow 2為最大實根，故選\bbox[red,2pt]{( B)}$$

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解：
$$\begin{cases} 2^x=3 \\2^x=6 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=\log_2{3} \\x=\log_2{6} \end{cases} \Rightarrow \overline{PQ}斜率= {6-3\over \log_2{6}-\log_2{3}} ={3\over 1+\log_2{3}-\log_2{3}} =3，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：
$$\begin{cases} a=\sqrt{20} \\b=6^{0.8} \\c=3^{1.2} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \log{a}={1\over 2}\log{20} ={1\over 2}(1+\log{2}) =0.5(1+0.301)= 0.6505\\ \log{b}=0.8\log{6}=0.8(\log{3}+\log{2}) =0.8(0.4771+0.301)=0.62248 \\ \log{c}=1.2\log{3}=1.2\times 0.4771=0.57252 \end{cases}\\ \Rightarrow a>b>c，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\overrightarrow{AP}=m\vec{u}+n\vec{v} \Rightarrow 0<m+n<1，則P在\triangle ABC內部，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：
$$\begin{cases} A=(2,-4) \\B=(3,2) \\C=(m,n) \end{cases} \Rightarrow \overrightarrow {OA}=4\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC} \Rightarrow (2,-4)=(12,8)+(m,n)=(12+m, 8+n)\\ \Rightarrow \begin{cases} m=-10 \\n=-12 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \overrightarrow{AB} =(1,6) \\ \overrightarrow{AC} =(-12,-8) \end{cases} \Rightarrow \triangle ABC={1\over 2}\sqrt{|\overrightarrow{AB}|^2+|\overrightarrow{AC}|^2-(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC})^2}\\ ={1\over 2}\sqrt{37\times 208-3600} = {1\over 2}\sqrt{4096} ={1\over 2}\times 64=32，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\begin{cases} 取到兩紅球的次數={2\choose 2}=1 \\取到兩白球的次數={2\choose 2}=1 \\取到兩黑球的次數={4\choose 2}=6 \end{cases} \Rightarrow 取到不同色的機率=1-{1+1+6 \over {8 \choose 2}} =1-{8\over 28}= {5\over 7}\\， 故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

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解： $$(A)\times:\begin{bmatrix}1&2 \\3&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&-1 \\-3 &3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-5& 5 \\3 &-3 \end{bmatrix}\\(B)\times:(A+B)^2 =A^2+B^2+AB+BA\\(C)\bigcirc: \begin{bmatrix}1&2 \\3&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\0 \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{cases} x+2y=0 \\ 3x=0\end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=0 \\ y=0\end{cases}\\(D)\times:\begin{bmatrix}1&-1 \\-3 &3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\0 \end{bmatrix} \Rightarrow x=y\\，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：

$$\begin{cases}A=(0,3)\\B=(1,3) \\C=(7,1) \\D=(7,0)\\O=(0,0)\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}f(A)=3b(不合)\\f(B)=a+3b \\f(C)=7a+b \\f(D)=7a(不合)\\f(O)= 0(不合)\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} f(B)=a+3b=4a+2b \\f(C)=7a+b=4a+2b  \end{cases} \Rightarrow b=3a，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：
$$第1球有3種選擇、第2球有2種選擇、第3球有2種選擇\dots，共有3\times 2^9=1536種分法，\\ 需扣除甲堆沒球(即乙堆皆為奇號球、丙堆為偶號球，或相反)、乙堆沒球或丙堆沒球，\\共有3\times 2=6種分法造成空堆，因此共有1536-6=1530種分法，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：
$$第一天\begin{cases}甲=144\\乙= 144 \end{cases} \Rightarrow 第二天\begin{cases}甲=144\begin{cases}甲=48\\乙= 96 \end{cases}\\乙= 144 \begin{cases}甲=108\\乙= 36 \end{cases}\end{cases} \equiv \begin{cases}甲=156\\乙= 132 \end{cases}\\\Rightarrow 第三天\begin{cases}甲=156\begin{cases}甲=52\\乙= 104 \end{cases}\\乙= 132 \begin{cases}甲=99\\乙= 33 \end{cases}\end{cases} \equiv \begin{cases}甲=151\\乙= 137 \end{cases}\Rightarrow 151-137=14，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：
$${1\over 6}+ {1\over 4}+p=1 \Rightarrow p={7\over 12} \Rightarrow 期望值={1\over 6}\times (2000-500)+ {1\over 4}\times (1000-500)+ {7\over 12}\times (200-500)\\= 250+125-175=200，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$向右的期望值為\frac{1}{4}\times 20=5、向上的期望值為\frac{3}{4}\times 20=15，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：

$$75=60+15 \Rightarrow 高於75分的比率為 50\%-34\%=16\% \Rightarrow 全校人數=320\div 16\% =2000\\ \Rightarrow 低於60分人數為2000\times 50\%=1000，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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-- end --