107年身心障礙學生四技二專甄試-數學(S)-詳解

107學年度身心障礙學生升學大專校院甄試試題

甄試類(群)組別：四技二專組

考試科目(編號)：數學(S)

單選題，共 20 題，每題 5 分

解：
$$經過(0,0)及(6,8)的直線方程式為4x-3y=0\\ \Rightarrow 直線上的點(x,4x/3)與原點的距離為 \sqrt{x^2+16x^2/9} =5x/3 =5 \Rightarrow x=3 \Rightarrow y=4\\ \Rightarrow x+y=7，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：
$$斜率為-1的直線方程式y=-x+b，經過(0,1)可得b=1，因此直線方程式為y=-x+1\\，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$1860^o=360^o\times 5+60^o \Rightarrow 60^o={\pi \over 3}為同界角，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：
$$\sin{({3\pi\over 2}- {\pi\over 6})} =\sin{4\pi \over 3} =-{\sqrt{3} \over 2} =\cos{5\pi \over 6}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\overrightarrow{AB}=(-1-2,7-3)=(-3,4) ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\left| {12 \over \sqrt{3^2+4^2}}\right|={12 \over 5}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$x^2+y^2-2x-4y+1=0 \Rightarrow (x-1)^2+(y-2)^2+1-5=0 \Rightarrow (x-1)^2+(y-2)^2 = 2^2 \\\Rightarrow 半徑=2，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$x^2+y^2+6x+8y=0  \Rightarrow (x+3)^2+(y+4)^2=5^2 \Rightarrow 圓心O(-3,-4) \\\Rightarrow dist(O,L)= \left| {-12-12-1 \over \sqrt{4^2+3^2}}\right| ={25\over 5} =5，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：
$$兩人與窗戶底呈直角三角形(30^o-60^o-90^o) \Rightarrow 斜邊長=2\times 10=20，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：
$$3\times 4=12，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$|3x-2|<7 \Rightarrow -7<3x-2< 7 \Rightarrow -{5\over 3}<x < 3，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：
$$判別式=0 \Rightarrow 1-4k=0 \Rightarrow k=\frac{1}{4}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：
$$f(1)=f(-3)=0 \Rightarrow f(x)=a(x-1)(x+3)，又f(2)=-10 \Rightarrow -10=5a \Rightarrow a=-2 \\ \Rightarrow f(x)=-2(x-1)(x+3) \Rightarrow f(-1)=(-2)\cdot(-2)\cdot 2=8， 故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

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解： $$f(x,y)=ax-4y-3 \Rightarrow f(P)\times f(Q)<0\Rightarrow (2a+4-3)(a-4-3)<0\\ \Rightarrow (2a+1)(a-7)< 0 \Rightarrow -\frac{1}{2}< a< 7，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：
$$\begin{cases} a_1 & = &2\\ a_2& = &a_1+3\\a_3 & = &a_2+5 \\\cdots\\a_{10}&=&a_9+19 \end{cases} \\\Rightarrow a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{10} =a_1+a_2+\cdots+a_9+2+3+5+\cdots+19\\ \Rightarrow a_{10}=2+3+5+\cdots+19 = 2+{22\times 9\over 2}=2+99 =101，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$a_{10}=S_{10}-S_{9} = 4\times 10^2+3\times 10 - 4\times 9^2-3\times 9\\ = 4(10^2-9^2)+ 3(10-9) = 4\times 19+3 =79，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：
$$3^{2x}-10(3^x)+9=0 \Rightarrow (3^{x})^2 -10(3^x)+9=0 \Rightarrow (3^{x}-9)(3^{x}-1)=0 \Rightarrow 3^{x}=9,1 \Rightarrow x=2,0 \\，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\frac{1}{3}\log{27} +\frac{1}{2}(\log{2} -\log{36}) = {1\over 3}\log{3^3}+ \frac{1}{2}(\log{2}-(\log{2^2}+\log{3^2}))\\ =\log{3}+\frac{1}{2}(-\log{2}-2\log{3}) =-{1\over 2}\log{2}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$錯誤的總和為50，將8恢復成3，總和將少5，即45；因此正確的平均為45/5=9，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：
$$公正骰子出現任一點數的機率皆為1/6，因此期望值為{1\over 6}(1+1+1+10+10+100) \\= \frac{123}{6}=20.5，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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-- end --