108年身心障礙學生四技二專甄試-數學(S)-詳解

108學年度身心障礙學生升學大專校院甄試試題

甄試類(群)組別：四技二專組

考試科目(編號)：數學(S)

單選題，共 20 題，每題 5 分

解：
$$\begin{cases} a={3\over 10} +{3\over 100}+ {3\over 1000} +{3\over 10000} \\b={33\over 100}+{33\over 10000}\end{cases} \Rightarrow a-{3\over 10} -{3\over 1000}={3\over 100}+  {3\over 10000} \\\Rightarrow 11a-{33\over 10} -{33\over 1000}={33\over 100}+  {33\over 10000} \Rightarrow 11a-{33\over 10} -{33\over 1000}=b\\ \Rightarrow 11a-b= {33\over 10} +{33\over 1000} \Rightarrow {11a-b\over 10}= {33\over 100} +{33\over 10000}=b\Rightarrow 11a-b=10b\\ \Rightarrow 11a=11b \Rightarrow a=b，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

---

解：
$$(x-1)(x-2)(x-3)= ax^3+bx^2+cx+d \Rightarrow \begin{cases} x=0 \Rightarrow -6=d\\ x=1 \Rightarrow 0=a+b+c+d \\ x=2 \Rightarrow 0=8a+4b+2c+d \\ x=3 \Rightarrow 0=27a+9b+3c+d \end{cases} \\ \Rightarrow \begin{cases} d=-6\\ a+b+c =6 \\ 4a+2b+c =3 \\ 9a+3b+c=2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3a+b=-3 \\ 4a+b=-2\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a=1 \\ b=-6\end{cases} \Rightarrow a+b=1-6=-5，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

---

解： $$\begin{cases} A(5,0) \\ B(0,3)\end{cases} \Rightarrow 斜率={3-0 \over 0-5} = -{3\over 5}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

---

解：
$${\sqrt{3} \over 27} = {3^{1\over 2} \over 3^3} =3^{-5 \over 2} =3^x \Rightarrow x=-{5\over 2}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

---

解： $$108=3\times 36=3\times 2^2\times 3^2 = 2^2\times 3^3 \Rightarrow 正因數個數=(1+2)(1+3)=12，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

---

解： $$\log_3{7}=x \Rightarrow 3^x=7 \Rightarrow 3^{2x}=3^x\times 3^x=7\times 7=49，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

---

解： $$\begin{cases} \vec{a}=(1,2) \\ \vec{b}= (x-1,y-3)\end{cases} \Rightarrow \vec{a}=3\vec{b} \Rightarrow (1,2)=(3x-3,3y-9) \Rightarrow \begin{cases} 3x-3=1 \\ 3y-9=2 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=4/3 \\ y=11/3 \end{cases} \\ \Rightarrow x+y=4/3+11/3=15/3=5，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

---

解： $$3^2\pi\times {10^o\over 360^o} = {\pi \over 4}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

---

解：
$$\begin{cases} A(1,2)\\ B(4,x) \end{cases} \Rightarrow \overline{AB}=\sqrt{3^2+(x-2)^2}=5 \Rightarrow 9+(x-2)^2=25 \Rightarrow x^2-4x-12=0 \\\Rightarrow (x-6)(x+2)=0 \Rightarrow x=6(-2不合,\because x>0)，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

---

解： $$\sin{\theta}={1\over 7} \Rightarrow \cos{\theta}=\pm {\sqrt{49-1}\over 7} = \pm{4\sqrt{3} \over 7} = -{4\sqrt{3} \over 7} ({\pi \over 2}<\theta<\pi \Rightarrow \cos{\theta}<0)，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

---

解： $$-{3\over 2}< x< 5 \Rightarrow (x+{3\over 2})(x-5)<0 \Rightarrow (2x+3)(x-5)<0 \Rightarrow 2x^2-7x-15<0 \\ \Rightarrow 2x^2<7x+15 \Rightarrow b=7，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

---

解： $$2x^3-x+k = p(x)(x+1),x=-1代入 \Rightarrow -2+1+k=0 \Rightarrow k=1 ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

---

解： $$\tan^2{15^o} \times\tan^2{60^o} \times\tan^2{75^o} = {\sin^2{15^o} \over \cos^2{15^o}} \times {\sin^2{60^o} \over \cos^2{60^o}} \times{\sin^2{75^o} \over \cos^2{75^o}} = {\sin^2{15^o} \over \cos^2{15^o}} \times {\sin^2{60^o} \over \cos^2{60^o}} \times{\cos^2{15^o} \over \sin^2{15^o}} \\ =  {\sin^2{60^o} \over \cos^2{60^o}} = {3/4 \over 1/4}=3，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

---

解： $${20\times 60 +30\times 70 \over 20+30} ={3300 \over 50} =66，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

---

解： $$三內角分別為120^o,30^o,30^o(180^o-120^o-30^o)，其對應邊長分別為a,b,c；\\ \Rightarrow {a\over \sin{120^o}} = {b\over \sin{30^o}} \Rightarrow {a\over b}={\sin{120^o} \over \sin{30^o}} = {\sqrt{3}/2 \over 1/2} =\sqrt{3}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

---

解： $$x^2+y^2=6x-8y \Rightarrow (x^2-6x+9)+(y^2+8y+16)=25 \Rightarrow (x-3)^2+(y+4)^2=5^2 \\ \Rightarrow 半徑r=5 \Rightarrow 直徑2r=10，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

---

解： $$5取2共有C^5_2=10種情形，其中只有1種情形是2支籤均中獎，機率為1/10，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

---

解： $$圓心(0,0)與直線3x-4y=1的距離為\left| {-1 \over \sqrt{3^2+4^2}}\right|= {1\over 5} < \sqrt{10}=半徑\\ \Rightarrow 直線與圓相交兩點 \Rightarrow 距離為1的有4點，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

---

解： $$\begin{cases} A(-1,2) \\ B(3,4) \\ C(5,-1)\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \vec{u}=\overrightarrow{AB}=(4, 2) \\ \vec{v}=\overrightarrow{AC} =(6,-3)\end{cases} \Rightarrow \vec{u}\cdot \vec{v} =|\vec{u}||\vec{v}|\cos{A}  \Rightarrow 24-6= \sqrt{16+4}\times\sqrt{36+9}\cos{A} \\ \Rightarrow 18=\sqrt{20}\times \sqrt{45}\cos{A} \Rightarrow \cos{A}= {18\over 30} = {3\over 5}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

---

解：
甲乙必入選，剩下6人選3人，共有$C^6_3=20$種組隊方式，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

---

-- end --