105年臺南區特招數學詳解

試題來源：臺南女中
1. 以琴酒與柳橙汁調製成 150 毫升的雞尾酒，其中柳橙汁體積為琴酒體積的兩倍，請問此杯雞尾酒內含柳橙汁多少毫升？
(A) 50 毫升
(B) 75 毫升
(C) 100 毫升
(D) 125 毫升

解：

令琴酒a毫升，則柳橙汁為2a毫升，且a+2a=150，因此a=50，柳橙汁為100毫升，$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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2. 近來路跑風氣盛行，美國人傑克森在 2007 年發表的一篇論文裡，建議運動員在運動過程中每分鐘心跳次數最多為[206.9-(0.67×年齡 )]   次。根據傑克森的建議，一個15 歲的運動員在運動過程中，每分鐘最多的心跳次數最接近下列哪一個選項？
(A) 195 次
(B) 197 次
(C) 199 次
(D) 201 次
解：

$$206.9-\left( 0.67\times 15 \right) \approx 206.9-\left( \frac { 2 }{ 3 } \times 15 \right) =206.9-10=196.9，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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3. 所謂「PM2.5」是指粒徑小於 2.5 微米的細懸浮微粒，而登革熱病毒則是直徑約 30~50
奈米的球形病毒。已知 1 微米=${10}^{-6}$ 公尺，1 奈米=${10}^{-9}$ 公尺，試問：2.5 微米是 50奈米的多少倍？
(A)1/50倍
(B)1/20倍
(C) 20 倍
(D) 50 倍

解：

$$\frac { 2.5微米 }{ 50奈米 } =\frac { 2.5\times { 10 }^{ -6 } }{ 50\times { 10 }^{ -9 } } =\frac { 1 }{ 20\times { 10 }^{ -3 } } =0.05\times { 10 }^{ 3 }=50，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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4. 臺南市政府公告 104 年舉辦「省電爭霸戰，節電獎百萬」競賽活動，統計 6 至 11月累積省電約 130 萬度，估計可減少 677 公噸碳排放量。已知使用 1200W 耗電量的吹風機 20 分鐘，用電量為 0.4 度，根據上述公告，換算碳排放量約為多少公斤？
(A) 0.1 公斤
(B) 0.2 公斤
(C) 0.4 公斤
(D) 0.8 公斤

解：

$$\frac { 677公噸 }{ 130萬度 } =\frac { x公斤 }{ 0.4度 } \Rightarrow \frac { 677公噸 }{ 130萬度 } =\frac { 677\times { 10 }^{ 3 } }{ 130\times { 10 }^{ 4 } } =\frac { x }{ 0.4 } \\ \Rightarrow x=0.4\times \frac { 677\times { 10 }^{ 3 } }{ 130\times { 10 }^{ 4 } } \approx 0.4\times \frac { 1 }{ 2 } =0.2，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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5. 飲料店舉辦促銷活動：「綠茶一杯 20 元，每買 5 杯就多送 2 杯」。李小姐買綠茶，飲料店總共給她 50 杯，李小姐應該要付多少元？
(A) 720 元
(B) 740 元
(C) 760 元
(D) 780 元

解：

花5杯錢得到(5+2)杯綠茶，花5x7=35杯錢得到35+2x7=49杯綠茶，因此要付35+1杯的錢，即36x20=720元，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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6. 數線上有相異三點 A(a)、 B(b)、C(c)，滿足 |a-b| =3、|b- c| =2 與 |c-a| =1 。若$\overline{AC}$ 的中點為 M ，$\overline{BC}$ 的中點為 N ，則 $\overline{MN}$ 的長度為下列何者？
(A)3/2
(B) 2
(C)5/2
(D) 3

解：

由題意可知各點相對位置如上圖，$\overline{MN}=\frac{1}{2}\overline{AB}=\frac{3}{2}$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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7. 擲一公正骰子一次，假設擲出的點數為 x ，則三線段長 x 、 x +7 、 x +11 可為三角
形三邊長的機率為何？
(A)1/6
(B)1/3
(C)1/2
(D)2/3

解：

兩邊之和需大於第三邊，即x+(x+7)>x+11, 因此x>4, x=5,6，機率為2/6=1/3，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：

$$\begin{cases} \angle CAD=\angle BEC \\ \angle AFB=\angle EFD \end{cases}\Rightarrow \triangle ABF\sim \triangle EDF\Rightarrow \frac { \overline { AF }  }{ \overline { BF }  } =\frac { \overline { EF }  }{ \overline { FD }  } \\ \Rightarrow \frac { 2x }{ x+3 } =\frac { 5x+2 }{ 3x+6 } \Rightarrow 6x^{ 2 }+12x=5x^{ 2 }+17x+6\Rightarrow x^{ 2 }-5x-6=0\\ \Rightarrow \left( x-6 \right) \left( x+1 \right) =0\Rightarrow x=6，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解：

直線L的斜率=$\overline{CB}$的斜率=(4-0)/(8-6)=2=a；
E=($\frac{8+0}{2},\frac{4+2}{2}$)=(4,3)，L經過E點，所以3=2x4+b, b=-5
所以a+b=2-5=-3，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：

$$\left( 2x^{ 2 }-1 \right) \left( ax^{ 2 }+bx+c \right) =2ax^{ 4 }+2bx^{ 3 }+2cx^{ 2 }-ax^{ 2 }-bx-c\\ =2ax^{ 4 }+2bx^{ 3 }+(2c-a)x^{ 2 }-bx-c \Rightarrow \begin{cases} 2a=4 \\ 2b=-2 \\ 2c-a=0 \\ -b=1 \\ -c=-1 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=2 \\ b=-1 \\ c=1 \end{cases}\\ \Rightarrow 2a+b+c=4-1+1=4，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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11. 臺南市自104年12月1日起，在特定路段實施路邊停車格累進費率，第1小時20元、第2小時起每小時30元，例如停2小時收費50元，停3小時收費80元。國稅局辦理研習，共有20位專員從外地開車參加，國稅局代為支付當天早上9點至下午4點的路邊停車格停車費用。若此次研習總預算為30000元，並將各項支出與結餘做成圓形圖，則路邊停車格停車費用占圓心角最多為何？
(A) 24°
(B) 36°
(C) 48°
(D) 72°

解：

早上9點至下午4點共計7小時，需停車費20+30x6=200元；20位專員需停車費200x20=4000元，占總預算的4000/30000=2/15，圓心角度數為$360\times \frac{2}{15}$=48度，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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12. 已知以四邊形 ABCD 的各邊中點為頂點的四邊形是長方形，下列哪一個敘述必定正確？

解：

ABCD為一箏形，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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13. 財務經理對訪談記者回答：「本公司上個月業績有達到優等的業務員，他們的平均薪資為8萬元。」經記者進一步詢問得知，上個月全體業務員平均薪資為3萬元，而其中業績未達優等者之業務員平均薪資為2萬元。則上個月業績達優等的業務員占全體業務員的比例為何？
(A)1/4  (B)1/5  (C)1/6  (D)1/8

解：

令業績達優等的業務員占全體業務員的比例為a，則$8\times a+2\times (1-a) = 3\Rightarrow a=\frac{1}{6}$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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14. 如右圖，正六邊形一邊$\overline{ AB}$ 與正五邊形一邊$\overline{CD}$ 平行，則$\angle QPR$ 的角度為何？

(A) 18°
(B) 24°
(C) 30°
(D) 36°

解：

正五邊形的每一內角為108度，正六邊形的每一內角為120度。
$\angle QNM=(180-\angle Q)/2$=(180-108)/2=36
$\angle QPR=180-\angle R-\angle RNP$=180-120-36=24，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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15. 設方程式$x^2$+9x-630=0的兩根是$\alpha與\beta$，且$\alpha>\beta$，則下列哪一個選項正確？
(A) $\alpha+\beta=9$
(B) $\alpha$是偶數
(C) $\alpha$是 5 的倍數
(D) $\alpha$是 7 的倍數

解：

$x^2$+9x-630=(x-21)(x+30)=0, $\alpha=21,\beta=-30$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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16. 如右圖，將正六邊形ABCDEF各邊延長交於P、Q、R、S、T、U六點，則正六邊形ABCDEF面積與正六邊形PQRSTU面積的比值為何？

(A)1/4   (B)1/3  (C)1/2  (D)$\sqrt{3}$/4

解：

正六邊形的每一內角為120度$\Rightarrow \triangle AQB=\triangle OAB$皆為正三角形，令$\triangle ABO$面積=M，則正六邊形ABCDEF面積=6M、正六邊形PQRSTU面積=6M+12M=18M，兩者比例為6M:18M=1:3，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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17. 如右圖， $O_1$、$O_2$分別為兩圓的圓心，直線 L與兩圓分別切於 A、B 兩點，且直線 L 與$\overline{O_1O_2}$交於 P 點。已知 $\overline{O_1A}=5，\overline{O_2B} =3，\overline{AB}=6，則\overline{PO_1}$ 的線段長為何？

$(A)\frac{63}{8}\\(B)\frac{25}{4}\\(C)\frac{15}{2}\\(D)\frac{11}{2}$
解：

$$\begin{cases} \angle O_{ 2 }PB=\angle O_{ 1 }PA \\ \angle O_{ 2 }BP=90°=\angle O_{ 1 }AP \end{cases}\Rightarrow \triangle O_{ 2 }BP\sim \triangle O_{ 1 }AP\Rightarrow \frac { \overline { O_{ 2 }B }  }{ \overline { PB }  } =\frac { \overline { O_{ 1 }A }  }{ \overline { AP }  } \\ \Rightarrow \frac { 3 }{ 6-a } =\frac { 5 }{ a } \Rightarrow a=\frac { 15 }{ 4 } \Rightarrow { \overline { PO_{ 1 } }  }^{ 2 }={ \overline { AO_{ 1 } }  }^{ 2 }+{ \overline { AP }  }^{ 2 }=25+\frac { 225 }{ 16 } =\frac { 625 }{ 16 } \\ \Rightarrow \overline { PO_{ 1 } } =\frac { 25 }{ 4 } ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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18. 設二次函數$y=ax^2$+bx+c的圖形通過(1,0)、(5,0)兩點，則二次函數=$ax^2$-bx圖形的對稱軸為何?

(A) x=0    (B) x -2 =0  (C) x -3 =0  (D) x + 3=0

解：

$y=ax^2$+bx+c=(x-1)(x-5)=$x^2-6x+5 \Rightarrow$ a=1,b=-6, c=5$\Rightarrow y=x^2+6x={(x+3)}^2-9 \Rightarrow$頂點座標為(-3,-9)，因此對稱軸為x=-3，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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19. 下圖為 2015 年國內家用20 公斤液化石油氣每月平均價格長條圖，請問 2015 年全年平均價格在下列哪一個範圍之間？

(A) 700 元~720 元
(B) 720 元~740 元
(C) 740 元~760 元
(D) 760 元~780 元
解：

以740元為水平線，高於740元的月份略多於低於740的月份，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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20. 坐標平面上有六個點，A(1, 2)、B( –2, 1)、C(0, –1)、D(a, b)、E(–1, 3)與 F(1, 1)。
若 $\triangle ABC \cong \triangle DEF$，且 a 、b都是正數，則 a+b之值為何？
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7

解：

$$\begin{cases} \overline { DE } //\overline { AB }  \\ \overline { DF } //\overline { AC }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \frac { 2-1 }{ 1-(-2) } =\frac { b-3 }{ a+1 }  \\ \frac { 2-(-1) }{ 1-0 } =\frac { b-1 }{ a-1 }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a-3b=-10 \\ 3a-b=2 \end{cases}\\ \Rightarrow a=2,b=4\Rightarrow a+b=6，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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21. 如右圖，B 是圓 O 上一點，O 是圓心， $\overline{PA}$與圓 O相切於 A 點。若 $\angle ABP=30°且 \overline{PB}$ =6 ，則 $\overline{PA}$的長度為何？

解：

$$\overline{OB}=\overline{OA}=r\Rightarrow \angle OAB=30^\circ \Rightarrow \angle AOP=\angle OBA+\angle OAB=60^\circ \\ \Rightarrow \overline{OP}=2\overline{OA} \Rightarrow 2r=6-r\Rightarrow r=2\Rightarrow \overline{AP}=\sqrt{3}r=2\sqrt{3}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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22. 如右圖，A、B、C 是直線 L 上三點，分別以 A、B 為圓心，$\overline{AB} 、\overline{ BC}$ 為半徑作圓，D 是兩圓交點。若 $\angle ADC =123 ° ，則\angle DAC$的角度為何？

(A) 16°
(B) 18°
(C) 20°
(D) 22°

解：

$$\overline { BD } =\overline { BC } =小圓半徑\Rightarrow \triangle BDC為等腰\Rightarrow 令\angle BCD=\angle BDC=a\\ \Rightarrow \angle ABD=2a=\angle ADB=\angle ADC-a=123-a\Rightarrow a=41°\\ \Rightarrow \angle DAC=180-\angle ABD-\angle ADB=180-41\times 4=16°\\，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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23. 數學老師在課堂上出了一個數學謎題給學生：「我心中有四個數成等差數列，其中有兩個數的和是 14，且比另外兩個數的和還要小；其中又有兩個數的和是 18，也比另外兩個數的和還要小。有誰知道這四個數中，最大的數為何？」請問此數學謎題的答案為多少？
(A) 17
(B) 18
(C) 19
(D) 20

解：

令此等差數列依小至大分別為$a_1=a,a_2=a+d,a_3=a+2d,a_4=a+3d$，由題意可知: $a_1+a_2=14且a_1+a_3=18$，因此a=5,d=4。最大數=a+3d=5+12=17，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：

令正三角形ADE的邊長為a，高為h及線段$\overline{DB}=b$
由於$\triangle ADE$為正三角形$\Rightarrow h=\frac{\sqrt{3}}{2}a$；
又$\angle B=45^\circ \Rightarrow h=\frac{a}{2}+b\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{a}{2}+b\Rightarrow b=\frac{(\sqrt{3}-1)}{2}a$
三角形ADE面積=$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$
斜線面積=$\triangle ABC-\triangle ADE=\frac{{(a+b)}^2}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{a^2}{2}$
斜線面積:三角形ADE面積=$\frac{a^2}{2}:\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=2:\sqrt{3}$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：

$$令\overline{A_1B_1}=a、\overline{A_6B_6}=b，對角線與水平線的交點在C_2、C_3、C_4、C_5，如上圖。\\ \Rightarrow \overline{A_4B_4}=\frac{2a}{5}+\frac{3b}{5}=39，又\triangle C_3A_1B_1\sim \triangle C_3B_6A_6 \Rightarrow a:b=2:3\\ \begin{cases} \frac { 2a }{ 5 } +\frac { 3b }{ 5 } =39 \\ 3a=2b \end{cases}\Rightarrow a=30,b=45\\ \overline{A_1B_1}+ \overline{A_2B_2} + \overline{A_3B_3}+\overline{A_4B_4}+ \overline{A_5B_5}+ \overline{A_6B_6}\\ =\frac{(1+2+3+4+5)}{5}a+\frac{(1+2+3+4+5)}{5}b=3a+3b=75\times 3=225\\ 故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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-- end --