91學年四技二專統測--數學(B)詳解

試題來源：技專校院入學測驗中心

解：

由以上長除法可得餘式為-x-4，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：

x=3代入可得27-54+33-6=0，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解： $$\sqrt{{(2-1)}^2+{(5-3)}^2}=\sqrt{5}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $${\left(\frac{1}{27}\right)}^3\times{81}^2={3}^{-9}\times{3}^{8}=3^{-1}=\frac{1}{3}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解： $$\log _{ 10 }{ 3 } +\log _{ 10 }{ 50 } +\log _{ 10 }{ 7 } -\log _{ 10 }{ 105 } \\ =\log _{ 10 }{ 3 } +1+\log _{ 10 }{ 5 } +\log _{ 10 }{ 7 } -\log _{ 10 }{ 3 } -\log _{ 10 }{ 5 } -\log _{ 10 }{ 7 } \\ =1，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解：假設兩根為a及b，則ab=-12, $a^2+b^2=25$且a+b>0。${(a+b)}^2=a^2+b^2+2ab$=25-24 =1$\Rightarrow a+b=1$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解： $${ a }^{ 2x }=2\Rightarrow { a }^{ x }=\sqrt { 2 } \Rightarrow { a }^{ 3x }=2\sqrt { 2 } \Rightarrow { a }^{ 3x }+{ a }^{ -3x }=2\sqrt { 2 } +\frac { 1 }{ 2\sqrt { 2 }  } \\ =2\sqrt { 2 } +\frac { \sqrt { 2 }  }{ 4 } =\frac { 9\sqrt { 2 }  }{ 4 } ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$f\left( x \right) =x+\frac { 1 }{ x } \Rightarrow f\left( \frac { 1 }{ x }  \right) =\frac { 1 }{ x } +x=f\left( x \right) ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $$\cot { \frac { 15\pi  }{ 4 }  } \tan { \left( \frac { -5\pi  }{ 4 }  \right)  } +\sin { \left( \frac { -5\pi  }{ 3 }  \right)  } \cos { \frac { 7\pi  }{ 6 }  } +\cos { \left( \frac { -\pi  }{ 2 }  \right)  } \sin { \left( -\pi  \right)  } \\ =\cot { \frac { -\pi  }{ 4 }  } \times \tan { \frac { -\pi  }{ 4 }  } +\sin { \left( \frac { \pi  }{ 3 }  \right)  } \times \left( -\cos { \frac { \pi  }{ 6 }  }  \right) +0\\ =\left( -1 \right) \times \left( -1 \right) +\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 } \times \frac { -\sqrt { 3 }  }{ 2 } =1-\frac { 3 }{ 4 } =\frac { 1 }{ 4 } ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $${ \left( \sin { 5° } -\csc { 5° }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \cos { 5° } -\sec { 5° }  \right)  }^{ 2 }-{ \left( \tan { 5° }  \right)  }^{ 2 }-{ \left( \cot { 5° }  \right)  }^{ 2 }\\ ={ \left( \sin { 5° } -\frac { 1 }{ \sin { 5° }  }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \cos { 5° } -\frac { 1 }{ \cos { 5° }  }  \right)  }^{ 2 }-{ \left( \frac { \sin { 5° }  }{ \cos { 5° }  }  \right)  }^{ 2 }-{ \left( \frac { \cos { 5° }  }{ \sin { 5° }  }  \right)  }^{ 2 }\\ =\sin ^{ 2 }{ 5° } +\frac { 1 }{ \sin ^{ 2 }{ 5° }  } -2+\cos ^{ 2 }{ 5° } +\frac { 1 }{ \cos ^{ 2 }{ 5° }  } -2-\frac { \sin ^{ 2 }{ 5° }  }{ \cos ^{ 2 }{ 5° }  } -\frac { \cos ^{ 2 }{ 5° }  }{ \sin ^{ 2 }{ 5° }  } \\ =-3+\frac { 1-\cos ^{ 2 }{ 5° }  }{ \sin ^{ 2 }{ 5° }  } +\frac { 1-\sin ^{ 2 }{ 5° }  }{ \cos ^{ 2 }{ 5° }  } =-3+\frac { \sin ^{ 2 }{ 5° }  }{ \sin ^{ 2 }{ 5° }  } +\frac { \cos ^{ 2 }{ 5° }  }{ \cos ^{ 2 }{ 5° }  } \\ =-3+1+1=-1，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解：直線2x-y+5=0的斜率為2，與其垂直的直線斜率為$\frac{-1}{2}$，其方程式為x+2y=b。由於經過A(4,-1)，所以4-2=b, b=2，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解： $$100000\times { \left( 1+\frac { 20 }{ 100 }  \right)  }^{ 3 }=100000\times { \left( \frac { 6 }{ 5 }  \right)  }^{ 3 }=100000\times \frac { 216 }{ 125 } =172800\\，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解：假設三根均為m, 該方程式為${(x-m)}^3=x^3-3mx^2+3m^2x-m^3\Rightarrow -3m=6\Rightarrow m=-2$。因此, a=12,b=8，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解： $$\begin{cases} f\left( 1 \right) =2 \\ f\left( 2 \right) =5 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a+b=2 \\ 2a+b=5 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=3 \\ b=-1 \end{cases}\Rightarrow f\left( -1 \right) =-a+b=-3-1=-4\\，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解：如果C在$\overline{AB}$的直線上，就無法形成一個三角形。令直線方程式為y=mx+b，經過A、B兩點，可求得$m=\frac{1}{2}$,b=0,即x=2y，因此k=10，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：A至直線的距離為$\frac{9+8-2}{\sqrt{4^2+3^2}}$=3，面積=$4\times 3\div 2$=6，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解： $$4<{ \left( 2x-3 \right)  }^{ 2 }<25\Rightarrow \begin{cases} 2<2x-3<5 \\ -5<2x-3<-2 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \frac { 5 }{ 2 } <x<4 \\ -1<x<\frac { 1 }{ 2 }  \end{cases} ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解：$C_2^8\times C_2^6=28\times 15$=420，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：由題意可知: 圓心在(0,6), 半徑=6, 其方程式為$x^2+{(y-6)}^2=36\Rightarrow x^2+y^2-12y=0$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解： $$\log _{ 2 }{ x } =\log _{ x }{ 2 } \Rightarrow \frac { \log { x }  }{ \log { 2 }  } =\frac { \log { 2 }  }{ \log { x }  } \Rightarrow { \left( \log { x }  \right)  }^{ 2 }-{ \left( \log { 2 }  \right)  }^{ 2 }=0\\\Rightarrow \left( \log { x } +\log { 2 }  \right) \left( \log { x } -\log { 2 }  \right) =0 \Rightarrow x=2\left( \alpha  \right) ,\frac { 1 }{ 2 } \left( \beta  \right) \Rightarrow { \alpha  }^{ 3 }+\alpha \beta +{ \beta  }^{ 3 }\\={ 2 }^{ 3 }+2\times \frac { 1 }{ 2 } +{ \left( \frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ 3 }=8+1+\frac { 1 }{ 8 } =\frac { 73 }{ 8 } ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$\begin{cases} a+d=28 \\ b+c=12 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a+a{ r }^{ 3 }=28 \\ ar+a{ r }^{ 2 }=12 \end{cases}\Rightarrow \frac { a+a{ r }^{ 3 } }{ ar+a{ r }^{ 2 } } =\frac { 28 }{ 12 } \Rightarrow \frac { 1+{ r }^{ 3 } }{ r+{ r }^{ 2 } } =\frac { 7 }{ 3 } \\ \Rightarrow 3{ r }^{ 3 }-7r^{ 2 }-7r+3=0\Rightarrow (3r-1)(r-3)(r+1)=0\Rightarrow r=3\\ 由於a<b<c<d,所以\frac { 1 }{ 3 } ,-1皆不合，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $$x^2+y^2+4x+8y=0\Rightarrow {(x+2)}^2+{(y+4)}^2={(2\sqrt{5})}^2\Rightarrow 半徑=2\sqrt{5}\\\Rightarrow 面積={(2\sqrt{5})}^2\pi=20\pi，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解：1-(甲乙皆不命中的機率)=1-$\frac{1}{4}\times\frac{1}{3}=\frac{11}{12}$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：
取到紅球的機率為3/10, 期望值為$\frac{3}{10}\times 50$=15
取到白球的機率為7/10, 期望值為$\frac{7}{10}\times 10$=7
兩者相加為22，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解： $$\left( \log _{ 2 }{ 3 } +\log _{ 4 }{ 9 }  \right) \left( \log _{ 3 }{ 4 } +\log _{ 9 }{ 2 }  \right) =\left( \log _{ 2 }{ 3 } +\log _{ 2 }{ 3 }  \right) \left( 2\log _{ 3 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 2 } \log _{ 3 }{ 2 }  \right) \\ =2\log _{ 2 }{ 3 } \left( 2\log _{ 3 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 2 } \log _{ 3 }{ 2 }  \right) =4\log _{ 2 }{ 3 } \log _{ 3 }{ 2 } +\log _{ 2 }{ 3 } \log _{ 3 }{ 2 } \\ =4+1=5，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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