94學年四技二專統測--數學(B)詳解

試題來源：技專校院入學測驗中心

解：

利用長除法可知: a-1=-4且b+1=5，即a=-3, b=4，因此a+b=1，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：令C=(x,y)，2(x+4)=3(1-x)且2(y-4)=3(-1-y)，則x=-1,y=1，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：只有(B)的x次方為正整數，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解： $${ \left( 0.0625 \right)  }^{ -1.5 }={ \left( \frac { 625 }{ 10000 }  \right)  }^{ -\frac { 3 }{ 2 }  }={ \left( \frac { 25 }{ 100 }  \right)  }^{ -3 }={ \left( \frac { 1 }{ 4 }  \right)  }^{ -3 }={ 4 }^{ 3 }=64，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $${ 2 }^{ 2x+1 }+{ 2 }^{ 3x }=5\cdot { 2 }^{ x+4 }\Rightarrow 2\cdot { \left( { 2 }^{ x } \right)  }^{ 2 }+{ \left( { 2 }^{ x } \right)  }^{ 3 }=80\cdot { 2 }^{ x }\Rightarrow { 2 }^{ x }\left( { \left( { 2 }^{ x } \right)  }^{ 2 }+2{ \left( { 2 }^{ x } \right)  }-80 \right) =0\\ \Rightarrow { 2 }^{ x }\left( { 2 }^{ x }+10 \right) \left( { 2 }^{ x }-8 \right) =0\Rightarrow { 2 }^{ x }=8\Rightarrow x=3，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$h\left( x \right) =f\left( x \right) -g\left( x \right) =\left( a-2 \right) x^{ 2 }+\left( b-3 \right) x+\left( c-3 \right) =-2x^{ 2 }+cx-b\\ \Rightarrow a=0,b=3,c=0\\ 各選項僅考慮x^{ 2 }係數\\ \left( A \right) f\left( x \right) +h\left( x \right) =a-2=-2;\\ \left( B \right) g\left( x \right) +h\left( x \right) =f\left( x \right) =a=0\\ \left( C \right) f\left( x \right) +g\left( x \right) +h\left( x \right) =a+2-2=0;\\ \left( D \right) f\left( x \right) +b\left[ g\left( x \right) +h\left( x \right)  \right] =f\left( x \right) +bf\left( x \right) =0，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解： $$\log{ab}=\log{a}+\log{b}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$\frac { \sin { 240° } \cot { 210° }  }{ \tan { 315° } +\cos { 120° }  } =\frac { -\sin { 60° } \cot { 30° }  }{ -\tan { 45° } -\cos { 60° }  } =\frac { -\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 } \times \sqrt { 3 }  }{ -1-\frac { 1 }{ 2 }  } =\frac { \frac { 3 }{ 2 }  }{ \frac { 3 }{ 2 }  } =1\\，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $$\tan{\theta}=\frac{5}{12}\Rightarrow \sin{\theta}=-\frac{5}{13},\cos{\theta}=-\frac{12}{13}\\ \Rightarrow \sin{\theta}-\cos{\theta}=-\frac{5}{13}+\frac{12}{13}=\frac{7}{13}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $$\sin { \theta  } +\cos { \theta  } =\frac { 3 }{ \sqrt { 5 }  } \Rightarrow { \left( \sin { \theta  } +\cos { \theta  }  \right)  }^{ 2 }=\frac { 9 }{ 5 } \Rightarrow \sin { \theta  } \cos { \theta  } =\frac { 2 }{ 5 } \\ \Rightarrow \tan { \theta  } +\cot { \theta  } =\frac { \sin { \theta  }  }{ \cos { \theta  }  } +\frac { \cos { \theta  }  }{ \sin { \theta  }  } =\frac { 1 }{ \sin { \theta  } \cos { \theta  }  } =\frac { 5 }{ 2 } ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解： $$\begin{cases} a-2b+c=0 \\ 3a+b-2c=0 \end{cases}\Rightarrow a=\frac { 3 }{ 7 } c=\frac { 3 }{ 5 } b\Rightarrow a:b:c=3:5:7，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $$a,b=ar,c=ar^{ 2 },d=ar^{ 3 }\Rightarrow ab=\frac { cd }{ 81 } \Rightarrow a^2r=\frac{a^2r^5}{81}\Rightarrow r^4=81\Rightarrow r=3\\，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $$\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ { a }_{ n } } =\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { { 2 }^{ n }+{ \left( -1 \right)  }^{ n } }{ { 5 }^{ n } }  } =\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ { \left( \frac { 2 }{ 5 }  \right)  }^{ n } } +\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ { \left( \frac { -1 }{ 5 }  \right)  }^{ n } } \\ =\left[ \left( \frac { 2 }{ 5 }  \right) +{ \left( \frac { 2 }{ 5 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { 2 }{ 5 }  \right)  }^{ 3 }+\cdots  \right] +\left[ \left( \frac { -1 }{ 5 }  \right) +{ \left( \frac { -1 }{ 5 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { -1 }{ 5 }  \right)  }^{ 3 }+\cdots  \right] \\ =\frac { \frac { 2 }{ 5 }  }{ 1-\frac { 2 }{ 5 }  } +\frac { \left( \frac { -1 }{ 5 }  \right)  }{ 1-\left( \frac { -1 }{ 5 }  \right)  } =\frac { 2 }{ 3 } -\frac { 1 }{ 6 } =\frac { 1 }{ 2 } ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $$\begin{cases} L_{ 1 }//L_{ 2 } \\ L_{ 3 }//L_{ 4 } \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \frac { 2 }{ 1 } =\frac { 1 }{ -a }  \\ \frac { 2 }{ b } =\frac { -1 }{ 4 }  \end{cases}\Rightarrow a=\frac { -1 }{ 2 } ,b=-8\Rightarrow ab=4，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解： $$\frac{14+38}{\sqrt{5^2+{12}^2}}=\frac{52}{13}=4，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解：直線3x+5y-29=0的斜率為$\frac{-3}{5}$，與其垂直的斜率為$\frac{5}{3}$；A、B的中點C=$\left(\frac{6-4}{2},\frac{3+5}{2}\right)=(1,4)$；經過C且斜率為$\frac{5}{3}$的直線為5x-3y+7=0，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解： $$1<x<2\Rightarrow (x-2)(x-1)<0\Rightarrow x^2-3x+2<0\Rightarrow a=1,b=-3,c=2\\ \Rightarrow -3x^2+2x+1\ge 0\Rightarrow 3x^2-2x-1\le 0\Rightarrow (3x+1)(x-1)\le 0 \\ \Rightarrow \frac{-1}{3}\le x\le 1\Rightarrow x=0,1，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解：

面積=三角形BCE+梯形ABED=$6\times 15\div 2+(15+45)\times 30 \div 2$= 45+900=945，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：假設半徑=r，則$r^2\pi=2\times 2\pi r\Rightarrow r=4$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：$C_6^{10}=210，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：此題相當於求x+y+z=10的非負整數解，共有$H_{10}^3=C_{10}^{12}=66$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解： $$P_{ 5 }^{ n+2 }=120C_{ 4 }^{ n+2 }\Rightarrow \frac { \left( n+2 \right) ! }{ \left( n-3 \right) ! } =120\times \frac { \left( n+2 \right) ! }{ 4!\left( n-2 \right) ! } \Rightarrow 1=120\times \frac { 1 }{ 4!\left( n-2 \right)  } \\ \Rightarrow n-2=5\Rightarrow n=7，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $${ \left( 2x-{ y }^{ 2 } \right)  }^{ 6 }=\sum _{ n=0 }^{ 6 }{ C_{ n }^{ 6 }{ (2x) }^{ n }{ (-y^{ 2 }) }^{ 6-n } } \Rightarrow x^{ 4 }y^{ 4 }係數為C_{ 4 }^{ 6 }2^{ 4 }{ (-1) }^{ 2 }=\frac { 6! }{ 4!2! } \times 16=240\\，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解：(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)，共有六種情況，機率為6/36，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：假設全班有男生a人、女生b人(a=b)，則0.3a的男生戴眼鏡、0.2b的女生戴眼鏡；
戴眼鏡共有0.3a+0.2b人，所求機率為0.3a/(0.3a+0.2b) = 0.3/0.5=3/5，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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