94學年四技二專統測--數學(A)詳解

試題來源：技專校院入學測驗中心

解：

利用長除法可知: a-1=-4且b+1=5，即a=-3, b=4，因此a+b=1，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：令C=(x,y)，2(x+4)=3(1-x)且2(y-4)=3(-1-y)，則x=-1,y=1，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：只有(B)的x次方為正整數，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解： $${ \left( 0.0625 \right)  }^{ -1.5 }={ \left( \frac { 625 }{ 10000 }  \right)  }^{ -\frac { 3 }{ 2 }  }={ \left( \frac { 25 }{ 100 }  \right)  }^{ -3 }={ \left( \frac { 1 }{ 4 }  \right)  }^{ -3 }={ 4 }^{ 3 }=64，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $${ 2 }^{ 2x+1 }+{ 2 }^{ 3x }=5\cdot { 2 }^{ x+4 }\Rightarrow 2\cdot { \left( { 2 }^{ x } \right)  }^{ 2 }+{ \left( { 2 }^{ x } \right)  }^{ 3 }=80\cdot { 2 }^{ x }\Rightarrow { 2 }^{ x }\left( { \left( { 2 }^{ x } \right)  }^{ 2 }+2{ \left( { 2 }^{ x } \right)  }-80 \right) =0\\ \Rightarrow { 2 }^{ x }\left( { 2 }^{ x }+10 \right) \left( { 2 }^{ x }-8 \right) =0\Rightarrow { 2 }^{ x }=8\Rightarrow x=3，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $${ \left( \sin { \theta  } -\cos { \theta  }  \right)  }^{ 2 }=1-2\sin { \theta  } \cos { \theta  } =1-\sin { 2\theta  } =1-\frac { 1 }{ 3 } =\frac { 2 }{ 3 } ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解： $$\sin { \theta  } +\cos { \theta  } =\frac { 1 }{ 3 } \Rightarrow { \left( \sin { \theta  } +\cos { \theta  }  \right)  }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 9 } \Rightarrow 1+2\sin { \theta  } \cos { \theta  } =\frac { 1 }{ 9 } \Rightarrow \sin { \theta  } \cos { \theta  } =-\frac { 4 }{ 9 } \\ \Rightarrow \tan { \theta  } +\cot { \theta  } =\frac { \sin { \theta  }  }{ \cos { \theta  }  } +\frac { \cos { \theta  }  }{ \sin { \theta  }  } =\frac { 1 }{ \sin { \theta  } \cos { \theta  }  } =-\frac { 9 }{ 4 } ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解：兩邊之和需大於第三邊，所以(A)與(B)不符，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解： $${\overline{AB}}^2={\overline{AC}}^2+{\overline{BC}}^2-2\overline{AC} \times \overline{BC}\cos{\angle{ACB}}=40000+10000-20000=30000 \\ \Rightarrow \overline{AB}=100\sqrt{3}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解： $$a^{ 2 }=b^{ 2 }+c^{ 2 }-2bc\cos { \angle A } \Rightarrow k^{ 2 }=3k^{ 2 }+c^{ 2 }-2\sqrt { 3 } kc\times \frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 } \\ \Rightarrow 2k^{ 2 }-3ck+c^{ 2 }=0\Rightarrow \left( c-2k \right) \left( c-k \right) =0\Rightarrow c=k,2k\\ \begin{cases} c=k \\ c=2k \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=c\Rightarrow \angle A=\angle C=30° \\ a:b:c=1:\sqrt { 3 } :2\Rightarrow c^{ 2 }=a^{ 2 }+b^{ 2 }\Rightarrow 直角非鈍角\triangle  \end{cases}\\，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解： $$\overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { b } =\left| \overrightarrow { a }  \right| \left| \overrightarrow { b }  \right| \cos { \theta  } \Rightarrow 2=2\times 2\times \cos { \theta  } \Rightarrow \cos { \theta  } =\frac { 1 }{ 2 } \Rightarrow \theta =60°\\，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$\left( 3\overrightarrow { a } -2\overrightarrow { b }  \right) \cdot \left( 3\overrightarrow { a } -2\overrightarrow { b }  \right) ={ \left| 3\overrightarrow { a } -2\overrightarrow { b }  \right|  }^{ 2 }\Rightarrow 9{ \left| \overrightarrow { a }  \right|  }^{ 2 }-12\overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { b } +4{ \left| \overrightarrow { b }  \right|  }^{ 2 }={ \left| 3\overrightarrow { a } -2\overrightarrow { b }  \right|  }^{ 2 }\\ \Rightarrow 36-36+36={ \left| 3\overrightarrow { a } -2\overrightarrow { b }  \right|  }^{ 2 }\Rightarrow \left| 3\overrightarrow { a } -2\overrightarrow { b }  \right| =6，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $$\left( a+bi \right) \left( 1+3i \right) =8+4i\Rightarrow a+bi=\frac { 8+4i }{ 1+3i } =\frac { \left( 8+4i \right) \left( 1-3i \right)  }{ \left( 1+3i \right) \left( 1-3i \right)  } =\frac { 20-20i }{ 10 } =2-2i\\ \Rightarrow { \left( a+bi \right)  }^{ 2 }={ \left( 2-2i \right)  }^{ 2 }=4-8i-4=-8i，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $${ \omega  }^{ 2 }+\omega +1=0\Rightarrow \left( \omega -1 \right) \left( { \omega  }^{ 2 }+\omega +1 \right) =0\Rightarrow { \omega  }^{ 3 }-1=0\\ \Rightarrow { \omega  }^{ 3 }=1\Rightarrow { \left( { \omega  }^{ 3 } \right)  }^{ 668 }\times \omega =\omega \Rightarrow { \omega  }^{ 2005 }=\omega ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$\left| \begin{matrix} 1-k & 2 & 3 \\ 1 & 2-k & 3 \\ 1 & 2 & 3-k \end{matrix} \right| =\left| \begin{matrix} 1-k & 2k & 3k \\ 1 & -k & 0 \\ 1 & 0 & -k \end{matrix} \right| ={ k }^{ 2 }\left( 1-k \right) +3{ k }^{ 2 }+2{ k }^{ 2 }=6{ k }^{ 2 }-{ k }^{ 3 }=0\\ \Rightarrow { k }^{ 2 }(k-6)=0\Rightarrow k=6，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$x-y-1=0\Rightarrow y=x-1代入拋物線可得\\ { x }^{ 2 }+4x+(x-1)+1=0\Rightarrow { x }^{ 2 }+5x=0\Rightarrow x=0,-5\Rightarrow y=-1,-6\\ \Rightarrow \left( 0,-1 \right) 與\left( -5,-6 \right) 的距離=\sqrt { 25+25 } =5\sqrt { 2 } ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解：

該區域為一三角形，如上圖。面積=$16\times 8 \div 2 = 64$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解： $$kx^{ 2 }-2x+k>0\Rightarrow k>0且2^{ 2 }-4k^{ 2 }<0\Rightarrow k>0且1-k^{ 2 }<0\\ \Rightarrow k>0且1<k^{ 2 }\Rightarrow 1<k，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解：圓心在第二象限，且與兩坐標軸相切，即圓心在直線x+y=0上； $$\begin{cases} x+y=0 \\ 3x+5y=14 \end{cases}\Rightarrow x=-7,y=7\Rightarrow \left( -7,7 \right) 與坐標軸距離=7，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$x\rightarrow (x-2), y\rightarrow (y-1)，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $$\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { \sqrt { n^{ 2 }+n } -n }{ \sqrt { n^{ 2 }+3n } -\sqrt { n^{ 2 }-n }  }  } \\=\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { \left( \sqrt { n^{ 2 }+n } -n \right) \left( \sqrt { n^{ 2 }+n } +n \right) \left( \sqrt { n^{ 2 }+3n } +\sqrt { n^{ 2 }-n }  \right)  }{ \left( \sqrt { n^{ 2 }+3n } -\sqrt { n^{ 2 }-n }  \right) \left( \sqrt { n^{ 2 }+3n } +\sqrt { n^{ 2 }-n }  \right) \left( \sqrt { n^{ 2 }+n } +n \right)  }  } \\ =\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { n\left( \sqrt { n^{ 2 }+3n } +\sqrt { n^{ 2 }-n }  \right)  }{ 4n\left( \sqrt { n^{ 2 }+n } +n \right)  }  } =\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { n\left( n\sqrt { 1+\frac { 3 }{ n }  } +n\sqrt { 1-\frac { 1 }{ n }  }  \right)  }{ 4n\left( n\sqrt { 1+\frac { 1 }{ n }  } +n \right)  }  } \\=\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { \sqrt { 1+\frac { 3 }{ n }  } +\sqrt { 1-\frac { 1 }{ n }  }  }{ 4\left( \sqrt { 1+\frac { 1 }{ n }  } +1 \right)  }  }  =\frac { \left( 1+1 \right)  }{ 4\left( 1+1 \right)  } =\frac { 1 }{ 4 } ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解： $$\begin{cases} f\left( x \right) =ax \\ g\left( x \right) =ax^{ 2 }-bx+3 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} f'\left( x \right) =a \\ g'\left( x \right) =2ax-b \end{cases}\\ \begin{cases} f\left( 2 \right) =g\left( 2 \right)  \\ f'\left( 2 \right) =g'\left( 2 \right)  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 2a=4a-2b+3 \\ a=4a-b \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 2a-2b+3=0 \\ 3a-b=0 \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} a=\sfrac { 3 }{ 4 }  \\ b=\sfrac { 9 }{ 4 }  \end{cases}\Rightarrow a+b=3，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $$f\left( x \right) =\begin{cases} 2x & x\ge 0 \\ 0 & x\le 0 \end{cases}\Rightarrow f'\left( x \right) =\begin{cases} 2 & x\ge 0 \\ 0 & x\le 0 \end{cases}\Rightarrow f'\left( 1 \right) +f'\left( -1 \right) =2+0=2，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $$f\left( x \right) =x^{ 3 }+3x^{ 2 }-9x-10\Rightarrow f'\left( x \right) =3x^{ 2 }+6x-9=3(x+3)(x-1)\\ 令 f'\left( x \right)=0\Rightarrow x=1,-3\Rightarrow f(1)=-15,f(-3)=17\Rightarrow M-m=17+15=32\\，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$\int _{ -2 }^{ 2 }{ x } dx=2\int _{ 0 }^{ 2 }{ x } dx=2\left.\left( \frac { 1 }{ 2 } { x }^{ 2 } \right)\right |_0^2=4，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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