98學年四技二專統測--數學(C)詳解

試題來源：技專校院入學測驗中心

解： $$假設C坐標=(0,a)，則\overline{AC}=\overline{BC}\\ \Rightarrow 25+{(a+1)}^2=9+{(a-4)}^2\Rightarrow a=\frac{-1}{10}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解： $$\tan{\alpha}=\frac{\overline{DC}}{\overline{BC}}=\frac{1}{3},\tan{\beta}=\frac{\overline{DC}}{\overline{PC}}=\frac{1}{2}\\  \Rightarrow\tan{\alpha+\beta}=\frac{\tan{\alpha}+\tan{\beta}}{1-\tan{\alpha}\tan{\beta}}=\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}{1-(\frac{1}{3})(\frac{1}{2})}=\frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}}=1 ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $$k=\sin{230^\circ}=\sin{(180^\circ+50^\circ)}=-\sin{50^\circ}\Rightarrow \cos{50^\circ}=\frac{1}{\sqrt{1-k^2}}\\ \Rightarrow \tan{50^\circ}=\frac{\sin{50^\circ}}{\cos{50^\circ}}=-\frac{k}{\sqrt{1-k^2}} ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $${ \overline { AC }  }^{ 2 }=\begin{cases} { \overline { AB }  }^{ 2 }+{ \overline { BC }  }^{ 2 }-2\overline { AB }\times \overline { BC } \cos { \angle ABC }  \\ { \overline { AD }  }^{ 2 }+{ \overline { DC }  }^{ 2 }-2\overline { AD }\times \overline { DC } \cos { \angle ADC }  \end{cases}\\ \Rightarrow 64+25-40=9+{ \overline { DC }  }^{ 2 }-3\overline { DC } \Rightarrow { \overline { DC }  }^{ 2 }-3\overline { DC } -40=0\\ \Rightarrow \left( \overline { DC } -8 \right) \left( \overline { DC } +5 \right) =0\Rightarrow \overline { DC } =8，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $${ \alpha  }^{ 3 }{ \beta  }^{ 3 }=\left( 2+\sqrt { 5 }  \right) \left( 2-\sqrt { 5 }  \right) =-1\Rightarrow \alpha \beta =-1\\ { \left( \alpha +\beta  \right)  }^{ 3 }={ \alpha  }^{ 3 }{ +\beta  }^{ 3 }+3\alpha \beta \left( \alpha +\beta  \right) =\left( 2+\sqrt { 5 }  \right) +\left( 2-\sqrt { 5 }  \right) +3\times \left( -1 \right) \left( \alpha +\beta  \right) \\ =4-3\left( \alpha +\beta  \right) \Rightarrow { \left( \alpha +\beta  \right)  }^{ 3 }+3\left( \alpha +\beta  \right) -4=0\Rightarrow \alpha +\beta =1 ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $$p\left( x \right) =a{ x }^{ 2 }+bx+c\Rightarrow \begin{cases} p\left( 1 \right) =1 \\ p\left( 2 \right) =\frac { 1 }{ 2 }  \\ p\left( 3 \right) =\frac { 1 }{ 3 }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a+b+c=1 \\ 4a+2b+c=\frac { 1 }{ 2 }  \\ 9a+3b+c=\frac { 1 }{ 3 }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 3a+b=\frac { -1 }{ 2 }  \\ 5a+b=\frac { -1 }{ 6 }  \end{cases}\\ \Rightarrow 2a=\frac { 1 }{ 3 } \Rightarrow a=\frac { 1 }{ 6 } \Rightarrow b=-1\Rightarrow c=\frac { 11 }{ 6 } \Rightarrow p\left( 4 \right) =16a+4b+c\\ =16\times \frac { 1 }{ 6 } -4+\frac { 11 }{ 6 } =\frac { 1 }{ 2 } ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $$5{ x }^{ 2 }+2x-4=A\left( { x }^{ 2 }+x-1 \right) +\left( Bx+C \right) \left( x-1 \right) =\left( A+B \right) { x }^{ 2 }+\left( A-B+C \right) x-A-C\\ \Rightarrow \begin{cases} A+B=5 \\ A-B+C=2 \\ A+C=4 \end{cases}\Rightarrow A=3,B=2,C=1\Rightarrow A+B+C=6，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$一根為(1-\sqrt{3}i)，則另一根為(1+\sqrt{3}i)，則[x-(1-\sqrt{3}i)][(1+\sqrt{3}i)]\\=x^2-2x+4為其因式。\\因此x^3+3x^2+ax+b=(x^2-2x+4)(x+5)+(a+6)x+(b-20)\\ \Rightarrow a=-6, b=20\Rightarrow a+b=14，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$\left( \cos { \frac { \pi  }{ 7 }  } -i\sin { \frac { \pi  }{ 7 }  }  \right) \left( \cos { \frac { 10\pi  }{ 21 }  } +i\sin { \frac { 10\pi  }{ 21 }  }  \right) \\ =\cos { \frac { \pi  }{ 7 }  } \cos { \frac { 10\pi  }{ 21 }  } +i\cos { \frac { \pi  }{ 7 }  } \sin { \frac { 10\pi  }{ 21 }  } -i\sin { \frac { \pi  }{ 7 }  } \cos { \frac { 10\pi  }{ 21 }  } +\sin { \frac { \pi  }{ 7 }  } \sin { \frac { 10\pi  }{ 21 }  } \\ =\left( \cos { \frac { 10\pi  }{ 21 }  } \cos { \frac { \pi  }{ 7 }  } +\sin { \frac { 10\pi  }{ 21 }  } \sin { \frac { \pi  }{ 7 }  }  \right) +i\left( \sin { \frac { 10\pi  }{ 21 }  } \cos { \frac { \pi  }{ 7 }  } -\sin { \frac { \pi  }{ 7 }  } \cos { \frac { 10\pi  }{ 21 }  }  \right) \\ =\cos { \left( \frac { 10\pi  }{ 21 } -\frac { \pi  }{ 7 }  \right)  } +i\sin { \left( \frac { 10\pi  }{ 21 } -\frac { \pi  }{ 7 }  \right)  } =\cos { \frac { \pi  }{ 3 }  } +i\sin { \frac { \pi  }{ 3 }  } =\frac { 1 }{ 2 } +\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 } i，\\故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $$2\log { \left( x-2y \right) = } \log { x } +\log { y } \Rightarrow \log { { \left( x-2y \right)  }^{ 2 } } =\log { xy } \\ \Rightarrow { \left( x-2y \right)  }^{ 2 }=xy\Rightarrow { x }^{ 2 }-4xy+4{ y }^{ 2 }=xy\Rightarrow { x }^{ 2 }-5xy+4{ y }^{ 2 }=0\\ \Rightarrow \left( x-4y \right) \left( x-y \right) =0\Rightarrow x=4y(\because x-2y>0,\therefore x=y不合)\\ \Rightarrow \frac { x }{ y } =\frac { 4y }{ y } =4，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$兩根之積{ 3 }^{ \alpha  }\times { 3 }^{ \beta  }=\frac { 1 }{ 81 } \Rightarrow { 3 }^{ \alpha +\beta  }={ 3 }^{ -4 }\Rightarrow \alpha +\beta =-4\\，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$
解：
，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。

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解： $${ 7 }^{ 1 }=7,{ 7 }^{ 2 }=49,{ 7 }^{ 3 }=343,{ 7 }^{ 4 }=2401,{ 7 }^{ 5 }=16807...\\ 個位數79317931...循環\\ { 7 }^{ 2009 }={ 7 }^{ 502\times 4+1 }\Rightarrow 個位數為7，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解：
，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。

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解： $${ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }=40\Rightarrow x=2\sqrt { 10 } \cos { \theta  } ,y=2\sqrt { 10 } \sin { \theta  } \\ \Rightarrow \overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { b } =\left( 4,3 \right) \cdot \left( x,y \right) =4x+3y=8\sqrt { 10 } \cos { \theta  } +6\sqrt { 10 } \sin { \theta  } \\ =10\sqrt { 10 } \left( \frac { 8\sqrt { 10 } \cos { \theta  } +6\sqrt { 10 } \sin { \theta  }  }{ 10\sqrt { 10 }  }  \right) \\ =10\sqrt { 10 } \left( \sin { \alpha  } \cos { \theta  } +\cos { \alpha  } \sin { \theta  }  \right) =10\sqrt { 10 } \sin { \left( \alpha +\theta  \right)  } \\ \Rightarrow -10\sqrt { 10 } \le \overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { b } \le 10\sqrt { 10 } ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解：

B(-2,3)代入直線方程式可得$-6-3-1\ne 0，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$

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解：

$$\begin{cases} 2x+y-6=0 \\ 3x-y+3=0 \end{cases}\Rightarrow 交點A=(\frac { 3 }{ 5 } ,\frac { 24 }{ 5 } )\\ \begin{cases} 2x+y-6=0 \\ y=0 \end{cases}\Rightarrow 交點B=\left( 3,0 \right) \\ \begin{cases} y=0 \\ 3x-y+3=0 \end{cases}\Rightarrow 交點C=\left( -1,0 \right) \\ \Rightarrow \triangle ABC=4\times \frac { 24 }{ 5 } \div 2=\frac { 48 }{ 5 } ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解：
與圓相切代表圓心至直線的距離等於圓半徑， $$x^2+y^2-6x-4y+4=0\Rightarrow {(x-3)}^2+{(y-2)}^2=3^2\Rightarrow 圓心=(3,2), 半徑=3，\\圓心至各直線的距離如下:(A) \frac{16}{5},(B) \frac{15}{5}=3,(C) \frac{10}{5},(D) \frac{13}{5}\\故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $$9{ x }^{ 2 }-4y^{ 2 }-72x+8y+176=0\Rightarrow 9\left( { x }^{ 2 }-8x+16 \right) -4\left( y^{ 2 }-2y+1 \right) =-36\\ \Rightarrow \frac { { \left( x-4 \right)  }^{ 2 } }{ 4 } -\frac { { \left( y-1 \right)  }^{ 2 } }{ 9 } =-1\Rightarrow -\frac { { \left( x-4 \right)  }^{ 2 } }{ { 2 }^{ 2 } } +\frac { { \left( y-1 \right)  }^{ 2 } }{ { 3 }^{ 2 } } =1\\ \Rightarrow \frac { x-4 }{ 2 } \pm \frac { y-1 }{ 3 } =0為漸近線\\ \Rightarrow \begin{cases} 3x+2y-14=0 \\ 3x-2y-10=0 \end{cases}為漸近線，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解：

C(10,4)=C(10,6)，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}。$

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解：

P(B)-P(A)可能為負值，不一定等於P(B-A)，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}。$

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解：

1-(三球皆不同顏色的機率)=$1-\frac{C(5,1)\times C(3,1)\times C(2,1)}{C(10,3)}=\frac{3}{4}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$

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解： $$f\left( x \right) =\frac { x\left( x-1 \right) \left( x-2 \right)  }{ x-5 } \Rightarrow f'\left( x \right) =\frac { \left( x-1 \right) \left( x-2 \right)  }{ x-5 } +\frac { x\left( x-2 \right)  }{ x-5 } +\frac { x\left( x-1 \right)  }{ x-5 }\\ +\frac { x\left( x-1 \right) \left( x-2 \right)  }{ { \left( x-5 \right)  }^{ 2 } }  \Rightarrow f'\left( 0 \right) =\frac { 2 }{ -5 } +0+0+0=-\frac { 2 }{ 5 } ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解：
先對x微分，再將x=1代入求y值是否為12 $$\left( A \right) y={ \left( { x }^{ 2 }+1 \right)  }^{ 3 }\Rightarrow y'=6x{ \left( { x }^{ 2 }+1 \right)  }^{ 2 }\Rightarrow y'(1)=24\\ \left( B \right) y={ \left( 2x+1 \right) \left( { 4x }^{ 2 }-3 \right)  }\Rightarrow y'=2{ \left( { 4x }^{ 2 }-3 \right)  }+8x\left( 2x+1 \right) \Rightarrow y'(1)=26\\ \left( C \right) y=\frac { x-47 }{ x+1 } \Rightarrow y'=\frac { 1 }{ x+1 } -\frac { x-47 }{ { \left( x+1 \right)  }^{ 2 } } \Rightarrow y'(1)=12\\ \left( D \right) y={ \left( 3x+1 \right)  }^{ 2 }\Rightarrow y'=6(3x+1)\Rightarrow y'(1)=24，\\故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $$\begin{cases} \int _{ a }^{ b }{ \left( mf\left( x \right) +ng\left( x \right)  \right) dx=13 }  \\ \int _{ a }^{ b }{ \left( mg\left( x \right) -nh\left( x \right)  \right) dx=5 }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} m\int _{ a }^{ b }{ f\left( x \right) dx } +n\int _{ a }^{ b }{ g\left( x \right) dx } =13 \\ m\int _{ a }^{ b }{ g\left( x \right) dx } -n\int _{ a }^{ b }{ h\left( x \right) dx } =5 \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} 6m+12n=13 \\ 12m-4n=5 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} m=\frac { 2 }{ 3 }  \\ n=\frac { 3 }{ 4 }  \end{cases}\Rightarrow 6m+8n=4+6=10，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解：
f在[0,1]為正值, 在[1,2]為負值，因此所圍區域面積為 $$\int _{ 0 }^{ 1 }{ f\left( x \right) dx } +\int _{ 2 }^{ 1 }{ f\left( x \right) dx } =\int _{ 0 }^{ 1 }{ \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) dx } +\int _{ 2 }^{ 1 }{ \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) dx }\\ =\left. \left( x-\frac { 1 }{ 3 } { x }^{ 3 } \right)  \right| _{ 0 }^{ 1 }+\left. \left( x-\frac { 1 }{ 3 } { x }^{ 3 } \right)  \right| _{ 2 }^{ 1 } =\left( \frac { 2 }{ 3 } -0 \right) +\left[ \frac { 2 }{ 3 } -\left( 2-\frac { 8 }{ 3 }  \right)  \right] \\=\frac { 2 }{ 3 } +\frac { 4 }{ 3 } =2，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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