98學年四技二專統測--數學(A)詳解

試題來源：技專校院入學測驗中心

解： $$點數和為6的情況：1+5、2+4、3+3、4+2、5+1，\\共有5種情況，機率為\frac{5}{36}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $$算數平均數為4\Rightarrow \frac{x+y+z}{3}=4，\\ x+1、y+2、z+3的算術平均數=\frac{(x+1)+(y+2)+(z+3)}{3}\\=\frac{x+y+z+6}{3}=\frac{x+y+z}{3}+\frac{6}{3}=4+2=6，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $$本題沒有經過丁，所以有3\times 4=12種走法，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解：

每擲一次不是正面就是反面，有兩種可能，四次共有\(2^4=16種可能，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。\)

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解：

C在x=2的直線上，都可以造成\(\angle A=90\circ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。\)

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解：

利用長除法，如上圖，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}。\)

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解： $$\sin{60^\circ}\cos{30^\circ}-\sin{30^\circ}\cos{60^\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解：$$\sin{690^\circ}+\cos{240^\circ}+\tan{(-2025^\circ)}\\= \sin{(690^\circ-720^\circ)}+ \cos{(240^\circ-360^\circ)}+ \tan{(-2025^\circ+360^\circ\times 6)}\\= \sin{(-30^\circ)}+\cos{120^\circ}+\tan{(135^\circ)}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-1=-2，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解： $$圓C:{(x-1)}^2+{(y-2)}^2=4^2\Rightarrow 圓心坐標=(1,2)\\ \Rightarrow 圓心至直線L距離=\frac{2+2+1}{\sqrt{2^2+1}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解：
先求平均數u=(73+75+76+77+79)/5=76 ，再求各成績與平均值的距離，分別為3,1,0,1,3，平方和為9+1+0+1+9=20，標準差=\(\sqrt{\frac{20}{5}}=2，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。\)

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解： 數據由小至大排列
116 117 118 120 121 122 123 124 126 132
138 145 151 157 166 175 198 222 233 234

中位數=(132+138)/2=135，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。

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解：

11個字，其中有3個天、3個留，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。

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解：

 x=0代入，3=a+b+c+d，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。

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解： $$\overrightarrow{AB}=(-12+20,-50-31)=(8,-81)，\overrightarrow{CD}=(19-11,-57-24)=(8,-81)\\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}//\overrightarrow{CD}\\ \overrightarrow{AD}=(19+20,-57-31)=(39,-88)，\overrightarrow{BC}=(11+12,24+50)=(23,74)\\ \Rightarrow \overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC}\ne 0，兩者不平行也不垂直\\，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解： $$x截距為(-3)、y截距為4，因此面積為3\times 4\div 2=6，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解：

由上圖可知為四邊形，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}。\)

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解：
陰影四邊形的頂點坐標為(0,0)、(2,0)、(1,2)、(0,3)，各頂點代入f可得: 12、20、22、21。因此最大值M=22、最小值m=12，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}。\)

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解：$${\left(\sqrt{8}\right)}^{2x+1}={\left(\frac{1}{4}\right)}^{1-x}\Rightarrow{\left(2^{\frac{3}{2}}\right)}^{2x+1}={\left(2^{-2}\right)}^{1-x}\Rightarrow 2^{3x+\frac{3}{2}}=2^{2x-2}\\\Rightarrow 3x+\frac{3}{2}=2x-2\Rightarrow x=-2-\frac{3}{2}=-\frac{7}{2} ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$\left(\log_{2}{9}+\log_{4}{9}\right)\left(\log_{3}{4}+\log_{9}{4}\right)=\left(2\log_{2}{3}+\log_{2}{3}\right)\left(2\log_{3}{2}+\log_{3}{2}\right)\\=3\log_{2}{3}\times3\log_{3}{2}=9，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解： $$\log_2{5}=\frac{\log_{10}{5}}{\log_{10}{2}}=\frac{\log_{10}{\frac{10}{2}}}{\log_{10}{2}}=\frac{1-\log_{10}{2}}{\log_{10}{2}}=\frac{1-a}{a}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$假設P坐標=(x,y)，由\overline{AB}:\overline{PB}=3:2\Rightarrow 6:(1-x)=6:(9-y)=3:2\\ \Rightarrow x=-3,y=5\Rightarrow \overline{PC}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $$由題意知: \sin{p}\cos{p}=\frac{1}{2}\\ \Rightarrow \tan{p}+\cot{p}=\frac{\sin{p}}{\cos{p}}+\frac{\cos{p}}{\sin{p}}=\frac{ \sin^2{p}+\cos^2{p}}{ \sin{p}\cos{p}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$令f(x)={(x+1)}^{10}=C_0^{10}x^{10}+C_1^{10}x^9+...+C_9^{10}x+C_{10}^{10}\\ \Rightarrow f(1)=2^{10}=C_0^{10}+C_1^{10}+...+C_9^{10}+C_{10}^{10}\\ \Rightarrow C_1^{10}+...+C_9^{10}+C_{10}^{10}=2^{10}-C_0^{10}=1024-1=1023，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $$f(1)=f(-1)=1\Rightarrow f(x)=a(x+1)(x-1)\\ f(0)=-1\Rightarrow a\times 1\times (-1)=-1\Rightarrow a=1\Rightarrow f(x)=(x+1)(x-1)\\ \Rightarrow f(-2)=(-1)\times(-3)=3，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解：$$f(x)=2x^2-4x+1=2(x^2-2x+1)-2+1=2{(x-1)}^2-1 \\ \Rightarrow a=1,b=-1\Rightarrow a+b=0，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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-- end --