99學年四技二專統測--數學(D)詳解

試題來源：技專校院入學測驗中心

解： $$a>0>b\Rightarrow a-2b>0, 3a^2b<0\Rightarrow 第四象限，故選\bbox[red,2pt]{(D)} 。$$

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解： $$5-2=3，故選\bbox[red,2pt]{(B)} 。$$

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解： $$\cos^2{\theta}=1-\sin^2{\theta}=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}，故選\bbox[red,2pt]{(D)} 。$$

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解： $$f(1)=1+1+2^2=6，故選\bbox[red,2pt]{(D)} 。$$

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解： $$斜率=\frac{12-3}{2-1}=9，故選\bbox[red,2pt]{(C)} 。$$

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解： $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}，故選\bbox[red,2pt]{(D)} 。$$

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解： $$該方程式經過(-2,0)，故選\bbox[red,2pt]{(A)} 。$$

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解： $$\tan{2010^\circ}=\tan{(2010^\circ-360^\circ\times 5)}=\tan{210^\circ}= \tan{30^\circ}= \frac{1}{\sqrt{3}}，故選\bbox[red,2pt]{(C)} 。$$

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解： $$圖形之極大值在2，只有(A)(C)符合；又x=0時，y=0，故選\bbox[red,2pt]{(A)} 。$$

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解： $$x^3-3x+2=0\Rightarrow {(x-1)}^2(x+2)，故選\bbox[red,2pt]{(C)} 。$$

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解： $$假設L: y=mx+b，斜率為\frac{-5}{3}\Rightarrow m=\frac{-5}{3}\\ x截距為2\Rightarrow 0=2m+b\Rightarrow 0=\frac{-10}{3}+b\Rightarrow b=\frac{10}{3}\\ \Rightarrow L: y=\frac{-5x}{3}+\frac{10}{3}\Rightarrow y截距=b=\frac{10}{3}，故選\bbox[red,2pt]{(C)} 。$$

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解： $$\frac{-22\pi}{3}=\frac{-22\pi}{3}+8\pi=\frac{-22\pi+24\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}，故選\bbox[red,2pt]{(B)} 。$$

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解： $$由各邊長度可知\angle C=90\Rightarrow \sin{A}=\frac{\overline{BC}}{\overline{AB}}=\frac{3}{5}，故選\bbox[red,2pt]{(A)} 。$$

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解： $$\overrightarrow{OA}=(8,9)、\overrightarrow{OB}=(-8,9)\\ \overrightarrow{OC}= \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=(0,18)\Rightarrow C=(0,18)，故選\bbox[red,2pt]{(D)} 。$$

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解：  $$\overrightarrow{AB}=(4,6)、\overrightarrow{CD}=(12,y+6)\\兩向量平行\Rightarrow \frac{4}{12}=\frac{6}{y+6}\Rightarrow y=12，故選\bbox[red,2pt]{(C)} 。$$

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解： $$直線x+y=0符合選項(B)及(D)，又(1,1)需滿足不等式，故選\bbox[red,2pt]{(B)} 。$$

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解： $$x^2+y^2-4x+4y-1=0\Rightarrow {(x-2)}^2+{(y+2)}^2=3^2\\ \Rightarrow 半徑=3，故選\bbox[red,2pt]{(B)} 。$$

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解： $$\overrightarrow{OA}=(1,2)，\overrightarrow{OB}=(x,3)；\overrightarrow{OA}與\overrightarrow{OB}垂直代表\Rightarrow \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}=0\\ \Rightarrow x+6=0\Rightarrow x=-6，故選\bbox[red,2pt]{(A)} 。$$

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解： $$x^4係數=2\times 1+(-1)\times 1=2-1=1，故選\bbox[red,2pt]{(C)} 。$$

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解：

$$圓心O(0,0)，半徑為1，因此過P(-2,1)點的切線\overline{PB}為水平線\\ \sin{\theta}=\frac{\overline{OB}}{\overline{OP}}=\frac{1}{\sqrt{5}},\cos{\theta}=\frac{2}{\sqrt{5}}\Rightarrow \tan{2\theta}=\frac{\sin{2\theta}}{\cos{2\theta}}=\frac{2\sin{\theta}\cos{\theta}}{\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta}} =\frac{4}{3}\\ \overline{PB}的斜率為0, \overline{PA}的斜率=-\tan{2\theta}=-\frac{4}{3}，故選\bbox[red,2pt]{(A)} 。$$

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解： $$A款x件及B款y件可得利潤40x+25y\\紅色毛線限制40x+20y\le 800;白色毛線限制30x+30y\le 900，\\此外，x, y均\ge 0，在此條件下求最大利潤。\\先求各線交點，再代入可求得當x=10,y=20有最大利潤\\ \Rightarrow 400+500=900，故選\bbox[red,2pt]{(B)} 。$$

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解： $$\overline{BC}中點D的坐標=\left(\frac{4+2}{2},\frac{3-1}{2}\right)=\left(3, 1\right) \\\Rightarrow \overline{AD}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}，故選\bbox[red,2pt]{(A)} 。$$

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解： $$\left( A \right) \frac { \sqrt { 5 } +1 }{ 2 } -\frac { 2 }{ \sqrt { 5 } -1 } =\frac { \sqrt { 5 } +1 }{ 2 } -\frac { 2\left( \sqrt { 5 } +1 \right)  }{ 4 } =0\\ \left( B \right) { \left( \frac { \sqrt { 5 } +1 }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }-\frac { \sqrt { 5 } +1 }{ 2 } =\left( \frac { \sqrt { 5 } +1 }{ 2 }  \right) \left[ \frac { \sqrt { 5 } +1 }{ 2 } -1 \right] \\ =\left( \frac { \sqrt { 5 } +1 }{ 2 }  \right) \left( \frac { \sqrt { 5 } -1 }{ 2 }  \right) =\frac { 4 }{ 4 } =1\\ \left( C \right) \left( \sqrt { 5 } +1 \right) \left( \sqrt { 5 } -1 \right) =5-1=4\\(A)(B)(C)都可以化簡成不含根號的有理數，故選\bbox[red,2pt]{(D)} 。$$

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解： $${ \left( \sin { 15° } +\cos { 15° }  \right)  }^{ 2 }=\sin ^{ 2 }{ 15° } +\cos ^{ 2 }{ 15° } +2\sin { 15° } \cos { 15° } \\ =1+\sin { 30° } =1+\frac { 1 }{ 2 } =\frac { 3 }{ 2 } ，故選\bbox[red,2pt]{(C)} 。$$

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解： $$(A) f(x)有最小值\Rightarrow a>0\\ (B) 頂點x座標=\frac{-b}{2a}>0且a>0\Rightarrow b<0\\   (C) f(0)=5\Rightarrow c=5>0\\ (D)f(1)>0\Rightarrow a+b+c>0\\，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$