95學年四技二專統測--數學(C)詳解

試題來源：技專校院入學測驗中心

解： $$\log _{ 3 }{ x } +\log _{ 3 }{ y } =2\Rightarrow \log _{ 3 }{ \left( xy \right)  } =2\Rightarrow xy=9\\ \frac { x+y }{ 2 } \ge \sqrt { xy } \Rightarrow x+y\ge 6\\ \frac { 1 }{ x } +\frac { 1 }{ y } =\frac { x+y }{ xy } =\frac { x+y }{ 9 } \ge \frac { 6 }{ 9 } =\frac { 2 }{ 3 } ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解：f(0)=0代表x為其因式，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解： $${ \left( { 2 }^{ 4-x } \right)  }^{ x }=16\Rightarrow { 2 }^{ 4x-{ x }^{ 2 } }={ 2 }^{ 4 }\Rightarrow 4x-{ x }^{ 2 }=4\Rightarrow { x }^{ 2 }-4x+4=0\Rightarrow { (x-2) }^{ 2 }=0\\，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解： $$4{ \left( \frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ 4 }+4{ \left( \frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ 3 }+{ \left( \frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+3=\frac { 1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 4 } +3=4，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $$\left( \frac { 0-12+24 }{ 3 } ,\frac { 6-24+12 }{ 3 }  \right) =\left( 4,-2 \right) ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $$y=x^{ 2 }+2x-4={ (x+1) }^{ 2 }-5\Rightarrow 頂點坐標(-1,-5)，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $$\log _{ a }{ x } +\log _{ a }{ \left( x-1 \right)  } =\log _{ a }{ 6 } \Rightarrow \log _{ a }{ \left( { x }^{ 2 }-x \right)  } =\log _{ a }{ 6 } \Rightarrow { x }^{ 2 }-x=6\\ \Rightarrow \left( x-3 \right) \left( x+1 \right) =0\Rightarrow x=3，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$\log _{ 2 }{ x } +\log _{ 2 }{ y } =1\Rightarrow \log _{ 2 }{ \left( xy \right)  } =1\Rightarrow xy=2\\ { \left( x+y \right)  }^{ 2 }={ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+2xy=117+4=121\Rightarrow x+y=11，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解： $$x^2-5x+6=(x-3)(x-2)\Rightarrow a=3,b=2\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}\\，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解：第一球沒進且第二球進球的機率=$(1-0.4)\times 0.4=0.24$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：

由上述長除法可知: a=-26，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：符合條件的x: 4,5,6,7共有4個，占全部的4/10，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：新生ABCD4人，分配(甲、乙)=(AB,CD)、(AC,BD)、(AD,BC)，甲乙兩互換，所以共有$3\times 2=6，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解： $$C_2^5=10，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $$g\left( x \right) =f\left( { x }^{ 2 }+1 \right) ={ \left( { x }^{ 2 }+1 \right)  }^{ 3 }+{ \left( { x }^{ 2 }+1 \right)  }^{ 2 }+\left( { x }^{ 2 }+1 \right) +1\\ \Rightarrow x^{ 4 }係數=C_2^3+1=4，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解：a=15,b=9，最大公因數為3，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：相當於求x+y+z=4的非負整數解，共有$H_4^3=15$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：所有的坐法扣到甲乙相鄰的坐法，即$\frac{5!}{5}-\frac{4!}{4}\times 2$=24-12=12，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：一正兩反=(正反反)、(反正反)、(反反正)，共有3種情形，機率為$\frac{1}{8}\times 3=\frac{3}{8}$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：硬幣有正反兩種情況，骰子有六種情況，樣本空間個數為$2\times 2\times 6=24$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解： $$\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}=\frac{1}{2}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $$\log _{ 2 }{ 8 } +\log _{ 3 }{ \frac { 1 }{ 9 }  } =\log _{ 2 }{ { 2 }^{ 3 } } +\log _{ 3 }{ { 3 }^{ -2 } } =3-2=1，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$\begin{cases} 4XX & 4\times 3=12 \\ 32X & 3 \\ 34X & 3 \end{cases}\Rightarrow 12+3+3=18，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$f\left( x,y \right) ={ \left( 3x-2y \right)  }^{ 3 }=\sum _{ n=0 }^{ 3 }{ C_{ n }^{ 3 }{ \left( 3x \right)  }^{ n }{ \left( -2y \right)  }^{ 3-n } } \Rightarrow f\left( 1,1 \right) =\sum _{ n=0 }^{ 3 }{ C_{ n }^{ 3 }{ \left( 3 \right)  }^{ n }{ \left( -2 \right)  }^{ 3-n } } \\ ={ \left( -2 \right)  }^{ 3 }+C_{ 1 }^{ 3 }{ \left( 3 \right)  }\times { \left( -2 \right)  }^{ 2 }+C_{ 2 }^{ 3 }{ \left( 3 \right)  }^{ 2 }{ \times \left( -2 \right)  }+C_{ 3 }^{ 3 }{ \left( 3 \right)  }^{ 3 }=-8+36-54+27=1\\，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解：3根等長的吸管只能排成一個正三角，立體翻轉後可得另一個三角形，故$C_3^4\times 2=4\times 2=8，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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