96學年四技二專統測--數學(B)詳解

試題來源：技專校院入學測驗中心

解： $$a>0且b<0\Rightarrow ab<0且b-a<0\Rightarrow (ab,b-a)在第三象限，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}\Rightarrow (-5,0)=(x-5,y-2)\Rightarrow x=0,y=2，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $$a={ 2 }^{ \log _{ 2 }{ 4 }  }={ 2 }^{ 2 }=4\\ b={ 8 }^{ \frac { 1 }{ 2 }  }=\sqrt { 8 } =2\sqrt { 2 } =2.8XX\\ c=\log _{ 2 }{ 10 } =1+\log _{ 2 }{ 5 } =3.XX\\ \Rightarrow a>c>b，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $${ 3 }^{ 3 }=2\times 13+1\Rightarrow { 3 }^{ 11 }={ 3 }^{ 8 }\left( 2\times 13+1 \right) =13A+{ 3 }^{ 8 }=13A+{ 3 }^{ 5 }\left( 2\times 13+1 \right) \\ =13A+13B+{ 3 }^{ 5 }=13C+{ 3 }^{ 2 }\left( 2\times 13+1 \right) =13C+13D+9，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $$\log _{ a }{ 3 } +\log _{ a }{ 7 } =3\Rightarrow \frac { \log { 3 }  }{ \log { a }  } +\frac { \log { 7 }  }{ \log { a }  } =3\Rightarrow \log { 3 } +\log { 7 } =3\log { a } \\ \Rightarrow \log { 21 } =\log { { a }^{ 3 } } \Rightarrow { a }^{ 3 }=21\Rightarrow a=\sqrt [ 3 ]{ 21 } ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解： $$x=\sqrt { 3 } +1\Rightarrow { \left( x-1 \right)  }^{ 2 }=3\Rightarrow { x }^{ 2 }-2x+1=3\Rightarrow { x }^{ 2 }=2x+2\\ \Rightarrow { x }^{ 3 }=2{ x }^{ 2 }+2x=2\left( 2x+2 \right) +2x=6x+4\Rightarrow { x }^{ 3 }=6x+4\\ \Rightarrow { x }^{ 3 }-6x-1=4-1=3 ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解：

a-b=3-5=-2，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解： $$a=x=\frac { -6 }{ 10 } =\frac { -3 }{ 5 } \Rightarrow f\left( \frac { -3 }{ 5 }  \right) =5\times \frac { 9 }{ 25 } +6\times \left( \frac { -3 }{ 5 }  \right) +1=\frac { -4 }{ 5 } =b\\ \Rightarrow a-b=\frac { -3 }{ 5 } -\left( \frac { -4 }{ 5 }  \right) =\frac { 1 }{ 5 } ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解： $$令A=(x,y)\Rightarrow (2,1)=(\frac{x-1}{2},\frac{y+3}{2})\Rightarrow A=(5,-1)\\ \Rightarrow A至(3,0)距離=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $$\log _{ 2 }{ \left( { x }^{ 2 }-5x+12 \right)  } =1+\log _{ 2 }{ x } =\log _{ 2 }{ 2x } \Rightarrow { x }^{ 2 }-5x+12=2x\\ \Rightarrow { x }^{ 2 }-7x+12=0\Rightarrow (x-4)(x-3)=0\Rightarrow x=3,4\Rightarrow a+b=3+4=7\\，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $${ \left( { 2 }^{ m } \right)  }^{ 2 }=16\Rightarrow { 2 }^{ 2m }={ 2 }^{ 4 }\Rightarrow m=2\\ { 3 }^{ n-m }=\frac { 1 }{ 27 } ={ 3 }^{ -3 }\Rightarrow n-m=-3\Rightarrow n-2=-3\Rightarrow n=-1\\ \Rightarrow m+n=2-1=1，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $$\sin { \theta  } -\cos { \theta  } =\frac { 1 }{ 3 } \Rightarrow { \left( \sin { \theta  } -\cos { \theta  }  \right)  }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 9 } \Rightarrow 1-2\sin { \theta  } \cos { \theta  } =\frac { 1 }{ 9 } \Rightarrow \sin { \theta  } \cos { \theta  } =\frac { 4 }{ 9 } \\ \Rightarrow \sec { \theta  } -\csc { \theta  } =\frac { 1 }{ \cos { \theta  }  } -\frac { 1 }{ \sin { \theta  }  } =\frac { \sin { \theta  } -\cos { \theta  }  }{ \sin { \theta  } \cos { \theta  }  } =\frac { \frac { 1 }{ 3 }  }{ \frac { 4 }{ 9 }  } =\frac { 3 }{ 4 } \\，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解： $$f\left( x \right) =\sin ^{ 2 }{ x } +\cos { x } -1=1-\cos ^{ 2 }{ x } +\cos { x } -1=\cos { x } \left( 1-\cos { x }  \right) \\ \Rightarrow 當\cos { x } =\left( 1-\cos { x }  \right) 有最大值\Rightarrow \cos { x } =\frac { 1 }{ 2 } \\ \Rightarrow \cos { x } \left( 1-\cos { x }  \right) =\frac { 1 }{ 2 } \times \frac { 1 }{ 2 } =\frac { 1 }{ 4 } ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $$\sum _{ i=6 }^{ 10 }{ { a }_{ i } } =\sum _{ i=1 }^{ 10 }{ { a }_{ i } } -\sum _{ i=1 }^{ 5 }{ { a }_{ i } } =\left( { 10 }^{ 2 }-99 \right) -\left( { 5 }^{ 2 }-99 \right) ={ 10 }^{ 2 }-{ 5 }^{ 2 }=75\\，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解： $${ a }_{ 17 }=21\Rightarrow { a }_{ 1 }+16d=21\Rightarrow { a }_{ 1 }+16\times \left( \frac { -3 }{ 4 }  \right) =21\Rightarrow { a }_{ 1 }=33\\ { S }=\frac { \left( { a }_{ 1 }+{ a }_{ 25 } \right)  }{ 2 } \times 25=\frac { \left( 33+33+{ 24\times \left( \frac { -3 }{ 4 }  \right)  } \right)  }{ 2 } \times 25=600\\，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $$4x+3y-4=0\Rightarrow 斜率=\tan { \theta  } =\frac { -4 }{ 3 } \Rightarrow \cos { \theta  } =\frac { -3 }{ 5 } ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解：該直線經過(0,3)、(2,0)，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：

當x=5,y=15時，3y-x=45-5=40最大，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：

所圍區域為一正方形，四頂點坐標分別為(8,0)、(0,8)、(-8,0)、(0,-8)，其面積為$8\sqrt{2}\times 8\sqrt{2}=128$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解： $$直線經過(-1,1)\Rightarrow 1=-m+b\Rightarrow b=m+1\\ x^{ 2 }+y^{ 2 }-6x+2y-10=0\Rightarrow { \left( x-3 \right)  }^{ 2 }+{ \left( y+1 \right)  }^{ 2 }=20\Rightarrow 圓心(3,-1),半徑\sqrt { 20 } \\ 圓心至直線的距離=半徑\Rightarrow \left| \frac { 3m+1+b }{ \sqrt { { m }^{ 2 }+1 }  }  \right| =\sqrt { 20 } \Rightarrow { \left( 3m+1+b \right)  }^{ 2 }=20\left( { m }^{ 2 }+1 \right) \\ \Rightarrow { \left( 4m+2 \right)  }^{ 2 }=20\left( { m }^{ 2 }+1 \right) \Rightarrow { \left( m-2 \right)  }^{ 2 }=0\Rightarrow m=2\Rightarrow b=2+1=3\\ \Rightarrow m+b=5，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $${ \left( x+y \right)  }^{ 2 }-2\left( xy-\frac { 3 }{ 2 } x+y \right) +2=0\Rightarrow { x }^{ 2 }+2xy+{ y }^{ 2 }-2xy+3x-2y+2=0\\ \Rightarrow { x }^{ 2 }+3x+\frac { 9 }{ 4 } +{ y }^{ 2 }-2y+1=\frac { 9 }{ 4 } +1-2\Rightarrow { \left( x+\frac { 3 }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( y-1 \right)  }^{ 2 }={ \left( \frac { \sqrt { 5 }  }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }\\，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解：從7個不同顏色挑6個來排列，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：只有(6,1,1)、(5,2,1)、(4,2,2)、(4,3,1)、(3,3,2)五種裝法，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：令該點至圓心距離=a、至圓周距離=b；依題意$a\le\frac{1b}{2}\Rightarrow$a:b=1:2
假設圓半徑=r=a+b $\Rightarrow a=\frac{r}{3},b=\frac{2r}{3}$，該點的區域為$\frac{1}{9}r^2\pi$占全部圓$r^2\pi$的1/9，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：(a,b)=(1,1)....(6,6)共有36種，其中(1,1)、(2,2)、(3,3)、(4,4)、(5,5)、(6,6)有6種相同，機率為6/36=1/6，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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