98學年四技二專統測--數學(B)詳解

試題來源：技專校院入學測驗中心

解： $$\overline{BC}=2\overline{AC}\Rightarrow 3(a+1)=2(-1+4)且3(b-1)=2(1-4)\\ \Rightarrow a=1, b=-1，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$\sin { \theta  } +\cos { \theta  } =\frac { \sqrt { 17 }  }{ 3 } \Rightarrow { \left( \sin { \theta  } +\cos { \theta  }  \right)  }^{ 2 }=\frac { 17 }{ 9 } \Rightarrow 1+2\sin { \theta  } \cos { \theta  } =\frac { 17 }{ 9 } \\ \Rightarrow \sin { \theta  } \cos { \theta  } =\frac { 4 }{ 9 } \Rightarrow { \left( \sin { \theta  } -\cos { \theta  }  \right)  }^{ 2 }=1-2\sin { \theta  } \cos { \theta  } =1-\frac { 8 }{ 9 } =\frac { 1 }{ 9 } \\ \Rightarrow \sin { \theta  } -\cos { \theta  } =\frac { 1 }{ 3 }  ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $$\cos{800^\circ}=\cos{(800^\circ-720^\circ)}=\cos{80^\circ}=\cos{(-80^\circ)}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$\frac { \cos { \left( -\theta  \right)  }  }{ \sin { \left( 360°+\theta  \right)  }  } +\frac { \tan { \left( 180°+\theta  \right)  }  }{ \cot { \left( 270°+\theta  \right)  }  } -\frac { \sin { \left( 270°-\theta  \right)  }  }{ \cos { \left( 90°+\theta  \right)  }  } \\ =\frac { \cos { \theta  }  }{ \sin { \theta  }  } +\frac { \tan { \theta  }  }{ -\tan { \theta  }  } -\frac { -\cos { \theta  }  }{ -\sin { \theta  }  } =-1，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解：

$$\overline{BC}的點D，使得\overline{AD}\bot\overline{BC}\\ \angle B=45^\circ\Rightarrow \triangle ABD為等腰直角\Rightarrow \overline{AD}=\overline{BD}=\frac{8}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}\\ \Rightarrow \overline{DC}=\frac{\overline{AD}}{\tan{60^\circ}}= \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{6}}{3}\\ \Rightarrow \overline{BC}= \overline{BD}+\overline{DC}= 4\sqrt{2}+\frac{4\sqrt{6}}{3}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解：

$$\angle PBC=45^\circ\Rightarrow \triangle PCB 為等腰直角\\ \Rightarrow \overline{PC}=\overline{BC}=a\Rightarrow \tan{A}=\frac{\overline{PC}}{\overline{AC}}=\frac{a}{1000+a}=\tan{30^\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}\\ \Rightarrow a=\frac{1000}{\sqrt{3}-1}=500(\sqrt{3}+1)，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解： $$假設兩根分別為a、a+1\Rightarrow a+(a+1)=15\Rightarrow a=7\\ \Rightarrow a\times(a+1)=\frac{k}{2}\Rightarrow 56=\frac{k}{2}\Rightarrow k=112，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$f\left( x \right) ={ x }^{ 3 }-3{ x }^{ 2 }+cx+d=g\left( x \right) \left( { x }^{ 2 }-5x+6 \right) =g\left( x \right) (x-3)(x-2)\\ \Rightarrow \begin{cases} f\left( 2 \right) =0 \\ f\left( 3 \right) =0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 8-12+2c+d=0 \\ 27-27+3c+d=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 2c+d=4 \\ 3c+d=0 \end{cases}\\ \Rightarrow c=-4,d=12，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $$abc=1\Rightarrow \begin{cases} \log _{ a }{ abc } =0 \\ \log _{ b }{ abc } =0 \\ \log _{ c }{ abc } =0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 1+\log _{ a }{ bc } =0 \\ 1+\log _{ b }{ ac } =0 \\ 1+\log _{ c }{ ab } =0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \log _{ a }{ bc } =-1 \\ \log _{ b }{ ac } =-1 \\ \log _{ c }{ ab } =-1 \end{cases}\\ \Rightarrow \log _{ a }{ b } +\log _{ a }{ c } +\log _{ b }{ c } +\log _{ b }{ a } +\log _{ c }{ b } +\log _{ c }{ a } \\ =\log _{ a }{ bc } +\log _{ b }{ ac } +\log _{ c }{ ab } =-1-1-1=-3，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $$4^{x+2}={(\frac{1}{4})}^{3x-6}\Rightarrow 2^{2x+4}=2^{12-6x}\Rightarrow 2x+4=12-6x\\ \Rightarrow 8x=8\Rightarrow x=1，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解：

x+2y=7與3x+y=6的交點(1,3)代入x+y=4為最大值，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}。$

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解： $$兩平行線x+2y=\frac{k}{2}及x+2y=-4的距離=\left|\frac{\frac{k}{2}+4}{\sqrt{1^2+2^2}}\right|=\sqrt{20}\\ \Rightarrow  {\frac{k}{2}+4}^2=100\Rightarrow \frac{k}{2}+4=10\Rightarrow k=12，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $$L_1斜率=\frac{2}{m}，L_2斜率=\frac{3}{2}\Rightarrow \frac{2}{m}\times\frac{3}{2}=-1\Rightarrow m=-3，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $$圓:{(x+2)}^2+{(y-3)}^2=13-k\Rightarrow 圓心(-2,3), 半徑=\sqrt{13-k}\\ 與x軸相切\Rightarrow 圓心到x軸的距離=半徑\Rightarrow \sqrt{13-k}=3\Rightarrow k=4，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $$\left| \begin{matrix} { x }^{ 2 } & 9 & 5 \\ 1+2x & 7 & 2 \\ x & 3 & 1 \end{matrix} \right| =\left| \begin{matrix} { x }^{ 2 }-5x & -6 & 5 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right| =0\Rightarrow \left( { x }^{ 2 }-5x \right) +6=0\\ \Rightarrow (x-3)(x-2)=0\Rightarrow 3^2+2^2=13 ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $$x+2x^2+4x^3+... = \frac{x}{1-2x}=\frac{2}{3}\Rightarrow 3x=2-4x\Rightarrow x=\frac{2}{7}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解： $$a_1+a_2+...+a_{20}=\frac{2}{3}\left(1+2+3+...+20\right)\\ =\frac{2}{3} \times \frac{20\times 21}{2}=140，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $${\overline{BC}}^2={\overline{AB}}^2+{\overline{AC}}^2-2{\overline{AB}}\times {\overline{AC}}\cos{A}\Rightarrow 25=50+25-2\sqrt{50}\times\sqrt{25}\cos{A}\\ \Rightarrow 25=75-50\sqrt{2}\times\cos{A}\Rightarrow \cos{A}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \angle A=45^\circ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解： $$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(-1,8)，\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}+ \overrightarrow{c}=(2+6-1,3-10+k)=(7,k-7)\\ \Rightarrow (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) \cdot(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}+ \overrightarrow{c})=(-1,8)\cdot(7,k-7)=-7+8k-56=8k-63=17\\ \Rightarrow k=10， 故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解：

從S走到T一定會經過M、N、P、Q四點之一，且MNPQ任兩點不會在同一個路徑上。
S→M→T 只有1種走法: 右右右右右下下下下下
S→N 有4個右及1個下排列，共有5種走法，N→T有1個右、4個下，也有5種走法，因此S→N→T有5x5=25種走法
同理，S→P→T有1種走法，S→Q→T有25種走法
因此共有1+25+1+25=52種走法，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}。$

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解： $${(a+b)}^7位於第8項 ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $$恰好出現1個綠球=6個紅球取2個，4個綠球取1個，\\ \Rightarrow 機率=\frac{C(4,1)\times C(6,2)}{C(10,3)}=\frac{60}{120}\\恰好出現2個綠球=6個紅球取1個，4個綠球取2個，\\ \Rightarrow機率=\frac{C(4,2)\times C(6,1)}{C(10,3)}=\frac{36}{120}\\恰好出現3個綠球=6個紅球取0個，4個綠球取3個，\\ \Rightarrow機率=\frac{C(4,3)\times C(6,0)}{C(10,3)}=\frac{4}{120}\\ \Rightarrow 期望值=10\times \frac{60}{120}+20\times \frac{36}{120}+30\times \frac{4}{120}=5+6+1=12，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： 10人扣掉甲乙兩人，剩下8人。8人中選1人有8種選法，全部有C(10,3)種選法，機率為$\frac{8}{C(10,3)}=\frac{8}{120}=\frac{1}{15}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：
數字由小到大: 10, 40, 40, 50, 65, 75, 80, 90, 100
10個數字的中位數是第5與第6的平均，9個數字中第5是65比中位數大，所以(x+65)/2=60, x=55，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}。$

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解：

每個數據與平均值的差距都是零，其標準差為0，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}。$

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