97學年四技二專統測--數學(B)詳解

試題來源：技專校院入學測驗中心

解： $$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}\Rightarrow (4-0,-8+5)=(x+5,y-4)\\ \Rightarrow (4,-3)=(x+5,y-4)\Rightarrow x=-1,y=1\Rightarrow (x,y)在第二象限，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

---

解：
首數就是取最接近且小於等於$\log{a}的整數，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$

---

解： $$\left( x+2 \right) \left( x+3 \right) \left( x-4 \right) \left( x-5 \right) =60\Rightarrow \left[ \left( x+2 \right) \left( x-4 \right) \right] \left[ \left( x+3 \right) \left( x-5 \right) \right] =60\\ \Rightarrow \left[ { x }^{ 2 }-2x-8 \right] \left[ { x }^{ 2 }-2x-15 \right] =60\Rightarrow { \left( { x }^{ 2 }-2x \right) }^{ 2 }-23\left( { x }^{ 2 }-2x \right) +60=0\\ \Rightarrow \left( { x }^{ 2 }-2x-20 \right) \left( { x }^{ 2 }-2x-3 \right) =0\Rightarrow \left( { x }^{ 2 }-2x-20 \right) \left( x-3 \right) \left( x+1 \right) =0\\，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

---

解： $$f(-3)=20\Rightarrow -9a+2=20 \Rightarrow a=-2，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

---

解：底數需為不為0的正數，因此(B)(C)不合；又對數值需大0，因此(D)也不合，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}。$

---

解： $${ \left( 81 \right)  }^{ x }=\frac { \sqrt { 3 }  }{ 27 } \Rightarrow { \left( { 3 }^{ 4 } \right)  }^{ x }=\frac { { 3 }^{ \frac { 1 }{ 2 }  } }{ { 3 }^{ 3 } } \Rightarrow { 3 }^{ 4x }={ 3 }^{ -\frac { 5 }{ 2 }  }\Rightarrow 4x=-\frac { 5 }{ 2 } \Rightarrow x=-\frac { 5 }{ 8 } \\，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

---

解： $$\tan { \theta  } =\sqrt { 3 } \Rightarrow \sin { \theta  } =\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 } ,\cos { \theta  } =\frac { 1 }{ 2 } \Rightarrow \sin { \theta  } \cos { \theta  } =\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 } \times \frac { 1 }{ 2 } \\=\frac { \sqrt { 3 }  }{ 4 } ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

---

解： $$\left( A \right) \cos { 35°=\sin { \left( 90°-35° \right)  }  } =\sin { 55° } >\sin { 35° } \\ \left( B \right) \sin { 65° } >\sin { 25° } =\cos { \left( 90°-25° \right)  } =\cos { 65° } \\ \left( C \right) \cos { 65° } =\sin { \left( 90°-65° \right)  } =\sin { 25° } <\sin { 35° } \\ \left( D \right) \cos { 35° } =\sin { \left( 90°-35° \right)  } =\sin { 55° } <\sin { 65° } \\，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

---

解： $$\sin { \theta  } +\cos { \theta  } =\frac { 2 }{ 3 } \Rightarrow { \left( \sin { \theta  } +\cos { \theta  }  \right)  }^{ 2 }={ \left( \frac { 2 }{ 3 }  \right)  }^{ 2 }\Rightarrow 1+2\sin { \theta  } \cos { \theta  } =\frac { 4 }{ 9 } \\ \Rightarrow 2\sin { \theta  } \cos { \theta  } =-\frac { 5 }{ 9 } \Rightarrow 1-2\sin { \theta  } \cos { \theta  } =\frac { 14 }{ 9 } \Rightarrow { \left( \sin { \theta  } -\cos { \theta  }  \right)  }^{ 2 }=\frac { 14 }{ 9 } \\ \Rightarrow \sin { \theta  } -\cos { \theta  } =-\frac { \sqrt { 14 }  }{ 3 } \left( \theta 在第四象限\Rightarrow \sin { \theta  } <0,\cos { \theta  } >0 \right) \\，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

---

解： $$\frac { 1+\sin ^{ 2 }{ \frac { \pi  }{ 6 }  }  }{ 1-\sin ^{ 2 }{ \frac { \pi  }{ 6 }  }  } =\frac { 1+\frac { 3 }{ 4 }  }{ 1-\frac { 3 }{ 4 }  } =\frac { \frac { 7 }{ 4 }  }{ \frac { 1 }{ 4 }  } =7，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

---

解： $$\begin{cases} { a }_{ 9 }=58 \\ { a }_{ 15 }=100 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} { a }_{ 1 }+8d=58 \\ { a }_{ 1 }+14d=100 \end{cases}\Rightarrow { a }_{ 1 }=2,d=7\\ { a }_{ 1 }+\left( n-1 \right) d=674\Rightarrow 2+7\left( n-1 \right) =674\Rightarrow n=97，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

---

解： $$\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { { 2 }^{ n }+5 }{ { 3 }^{ n } }  } =\left[ 1+\frac { 2 }{ 3 } +{ \left( \frac { 2 }{ 3 }  \right)  }^{ 2 }+\cdots  \right] +\left[ 5\left( 1+\frac { 1 }{ 3 } +\frac { 1 }{ { 3 }^{ 2 } } +\cdots  \right)  \right] \\ =\frac { 1 }{ 1-\frac { 2 }{ 3 }  } +5\left( \frac { 1 }{ 1-\frac { 1 }{ 3 }  }  \right) =3+5\times \frac { 3 }{ 2 } =\frac { 21 }{ 2 } ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

---

解： $$\frac { 4-2 }{ -5-3 } =\frac { k-2 }{ -3-3 } \Rightarrow \frac { 2 }{ -8 } =\frac { k-2 }{ -6 } \Rightarrow 4\left( k-2 \right) =6\Rightarrow k=3\frac { 1 }{ 2 } \\，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

---

解： $$D=\left( \frac { 3-1 }{ 2 } ,\frac { 4+2 }{ 2 }  \right) =\left( 1,3 \right) \\ 令\overleftrightarrow { AD } 直線方程式為y=mx+b，A、D經過該線\Rightarrow \begin{cases} 5=2m+b \\ 3=m+b \end{cases}\Rightarrow m=2,b=1，\\故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

---

解：

如上圖，由各交點可知三角形面積=$8\times 2\div 2=8，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$

---

解：

$$\left| x-1 \right| +\left| y-3 \right| =2包含四條直線，即\begin{cases} (x-1)+(y-3)=2 \\ (1-x)+(y-3)=2 \\ (x-1)+(3-y)=2 \\ (1-x)+(3-y)=2 \end{cases}\equiv \begin{cases} x+y=6 \\ -x+y=4 \\ x-y=0 \\ x+y=2 \end{cases}\\ 四直線交點A,B,C,D如上圖\Rightarrow x+2y=1+2\times 5=11為最大值，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

---

解： $$f\left( x \right) =\left| x+4 \right| +\left| x-3 \right| =\begin{cases} 2x+1 & x\ge 3 \\ 7 & -4\le x\le 3 \\ -2x-1 & x\le -4 \end{cases}\\，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

---

解： $$x^2+y^2-6x+4y-12=0\Rightarrow {(x-3)}^2+{(y+2)}^2=5^2\Rightarrow 圓心(3,-2), 半徑5\\點(-1,1)在切線上\Rightarrow 1=-m+b\Rightarrow b=m+1\\圓心至切線距離=半徑\Rightarrow \left|\frac{3m+b+2}{\sqrt{m^2+1}}\right|=\left|\frac{4m+3}{\sqrt{m^2+1}}\right|=5\\ \Rightarrow \frac{{(4m+3)}^2}{m^2+1}=25\Rightarrow {(3m-4)}^2=0\Rightarrow m=\frac{4}{3}\\ \Rightarrow 2m+b=3m+1=4+1=5，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

---

解： $$半徑=\left( 2,-3 \right) 至\left( -1,5 \right) 距離=\sqrt { 3^{ 2 }+8^{ 2 } } =\sqrt { 73 } \\ 圓心\left( 2,-3 \right) 及半徑\sqrt { 73 } \Rightarrow 圓方程式:{ (x-2) }^{ 2 }+{ (y+3) }^{ 2 }=73\\ \Rightarrow x^2-4x+4+y^2+6y+9=73\Rightarrow x^2+y^2-4x+6y-60=0，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

---

解：
不限每輛車的載客限制，有$3^5=243$種載客方式，扣除一輛車載五個人的3種情況(5,0,0)、(0,5,0)及(0,0,5)，即共有243-3=240組解，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}。$

---

解：
百位數不得為0，有9種情況；十位數只有1種情況；個位數必須是0,2,4,6,8，有5種情況，因此共有$9\times 1\times 5=45個，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$

---

解：
x+y+z=5的正整數解個數，相當於x+y+z=2的非負整數解個數，即$H_2^3=C_2^4=6，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$

---

解： $$C_3^6=\frac{6!}{3!3!}=20，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

---

解：
假設不公正硬幣出現正面的機率為p、出現背面的機率為1-p；公正硬幣出現正面與反面的機率皆為1/2。因此兩枚都出現正面的機率為$\frac{1}{2}p=\log{3}\Rightarrow p=2\log{3}， 故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$

---

解：
選到甲袋且取出白球的機率=$\frac{1}{2}\times\frac{3}{5}$，選到乙袋且取出白球的機率=$\frac{1}{2}\times\frac{1}{5}$，兩者相加=$\frac{2}{5}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$。

---