92學年四技二專統測--數學(A)詳解

試題來源：技專校院入學測驗中心

解： $$f(-2)=0\Rightarrow 16-8-8-2a+2=0\Rightarrow a=1，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $$2^2-4\times 3\times k=0\Rightarrow 4-12k=0\Rightarrow k=\frac{1}{3}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解：

y=3x+2斜率為3，則y=ax+3的斜率為$\frac{-1}{3}$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解： $$\frac{1}{3^x}=9^y\Rightarrow 3^{-x}=3^{2y}\Rightarrow -x=2y，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$\log_{10}{15}=\log_{10}{3}+\log_{10}{5}=\log_{10}{3}+1-\log_{10}{2}=b+1-a，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $$\tan{\alpha}+\tan{\beta}=3, \tan{\alpha}\tan{\beta}=-7\Rightarrow \tan{(\alpha+\beta)} =\frac{\tan{\alpha}+\tan{\beta}}{1-\tan{\alpha}\tan{\beta}}\\=\frac{3}{1+7}=\frac{3}{8}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解：

$$\overline{BD}=\overline{AB}+\overline{AC}+\overline{CD}=2\overline{AB}+\overline{AC}=2\sqrt{3}\times 2+4=4+4\sqrt{3}\\，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $${\overline{AC}}^2={\overline{AB}}^2+{\overline{BC}}^2-2\overline{AB}\times\overline{BC}\cos{\angle B}={(\sqrt{3}+1)}^2+4-4(\sqrt{3}+1)\times \frac{\sqrt{3}}{2}\\=2\Rightarrow \overline{AC}=\sqrt{2}\\{\overline{BC}}^2={\overline{AB}}^2+{\overline{AC}}^2-2\overline{AB}\times\overline{AC}\cos{\angle A}\\\Rightarrow 4={(\sqrt{3}+1)}^2+{\sqrt{2}}^2-2(\sqrt{3}+1)\sqrt{2}\cos{\angle A}\\ \Rightarrow \cos{\angle A}=\frac{2(\sqrt{3}+1))}{2\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \angle A=45^\circ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $$\sin { 310° } =\sin { \left( 310°-360° \right)  } =-\sin { 50° } <0\\ \left( A \right) \cos { 40° } >0\\ \left( B \right) \sin { 50° } >0\\ \left( C \right) \sin { 130° } >0\\ \left( D \right) \cos { 220° } =\cos { \left( 180°+40° \right)  } =-\cos { 40° } =-\sin { 50° } \\，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$\overrightarrow{BC}=(x+4,y-7),\overrightarrow{AC}=(x-1,y-3)\\ 3\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{AC}\Rightarrow 3(x+4)=2(x-1)且3(y-7)=2(y-3)\\ \Rightarrow x=-14,y=15，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $$\begin{cases} \left( \overrightarrow { a } +\overrightarrow { b }  \right) \cdot \left( \overrightarrow { a } +\overrightarrow { b }  \right) ={ \left| \overrightarrow { a }  \right|  }^{ 2 }+2\overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { b } +{ \left| \overrightarrow { b }  \right|  }^{ 2 }={ \left| \overrightarrow { a } +\overrightarrow { b }  \right|  }^{ 2 }=16\Rightarrow \overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { b } =\frac { 16-\left( { \left| \overrightarrow { a }  \right|  }^{ 2 }+{ \left| \overrightarrow { b }  \right|  }^{ 2 } \right)  }{ 2 }  \\ \left( \overrightarrow { a } -\overrightarrow { b }  \right) \cdot \left( \overrightarrow { a } -\overrightarrow { b }  \right) ={ \left| \overrightarrow { a }  \right|  }^{ 2 }-2\overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { b } +{ \left| \overrightarrow { b }  \right|  }^{ 2 }={ \left| \overrightarrow { a } -\overrightarrow { b }  \right|  }^{ 2 }=9\Rightarrow \overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { b } =\frac { \left( { \left| \overrightarrow { a }  \right|  }^{ 2 }+{ \left| \overrightarrow { b }  \right|  }^{ 2 } \right) -9 }{ 2 }  \end{cases}\\ \Rightarrow \frac { 16-\left( { \left| \overrightarrow { a }  \right|  }^{ 2 }+{ \left| \overrightarrow { b }  \right|  }^{ 2 } \right)  }{ 2 } =\frac { \left( { \left| \overrightarrow { a }  \right|  }^{ 2 }+{ \left| \overrightarrow { b }  \right|  }^{ 2 } \right) -9 }{ 2 } \Rightarrow { \left| \overrightarrow { a }  \right|  }^{ 2 }+{ \left| \overrightarrow { b }  \right|  }^{ 2 }=\frac { 25 }{ 2 } \Rightarrow \left| \overrightarrow { a }  \right| =\left| \overrightarrow { b }  \right| =\frac { 5 }{ 2 } \\ \Rightarrow \overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { b } =\frac { 16-\left( { \left| \overrightarrow { a }  \right|  }^{ 2 }+{ \left| \overrightarrow { b }  \right|  }^{ 2 } \right)  }{ 2 } =\frac { 16-\frac { 25 }{ 2 }  }{ 2 } =\frac { 7 }{ 4 } =\left| \overrightarrow { a }  \right| \left| \overrightarrow { b }  \right| \cos { \theta  } =\frac { 25 }{ 4 } \cos { \theta  } \\ \Rightarrow \cos { \theta  } =\frac { 7 }{ 4 } \times \frac { 4 }{ 25 } =\frac { 7 }{ 25 } ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解：2-i代入方程式可得${(2-i)}^2-a(2-i)-4+7i=0\Rightarrow a=i-1$，因此兩根之和為(i-1)。
已知一根為2-i，假設另一根為(c+di)，c、d皆為實數。兩根之和=(c+2)+(d-1)i=-1+i，因此c=-3,d=2，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解： $${ \left( 1-i \right)  }^{ 6 }={ \left[ { { \left( 1-i \right)  }^{ 2 } } \right]  }^{ 3 }={ \left[ { -2i } \right]  }^{ 3 }=-8\times \left( -i \right) =8i，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $$\left| \begin{matrix} x & 1 & 2 \\ x-1 & 2 & 4 \\ x-2 & 4 & 7 \end{matrix} \right| =\left| \begin{matrix} x & 1 & 2 \\ -1 & 1 & 2 \\ -2 & 3 & 5 \end{matrix} \right| =0\Rightarrow 5x-6-4+4+5-6x=0\\ \Rightarrow -x-1=0\Rightarrow x=-1，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解：$\overline{AB}斜率=\frac{b}{a}$，x-2y=5的斜率為$\frac{1}{2}$，兩者互垂，所以$frac{b}{a}=-2\Rightarrow b=-2a$;又A、B的中點在直線x-2y=5上，即$\left(\frac{a}{2},\frac{b}{2}\right)$代入直線可得$\frac{a}{2}-b=5$, a=2b+10。
由b=-2a,及a=2b+10可求得a=2,b=-4$\Rightarrow a-b=6，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解： $$-\frac { 1 }{ 2 } <x<\frac { 5 }{ 2 } \Rightarrow \left( x+\frac { 1 }{ 2 }  \right) \left( x-\frac { 5 }{ 2 }  \right) <0\Rightarrow { x }^{ 2 }-2x-\frac { 5 }{ 4 } <0\Rightarrow { 2x }^{ 2 }-4x-\frac { 5 }{ 2 } <0\\ \Rightarrow a=2,b=-\frac { 5 }{ 2 } \Rightarrow a+b=-\frac { 1 }{ 2 } ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解： $$L:6x+8y-3=0\equiv 3x+4y-\frac { 3 }{ 2 } =0\\ \left( A \right) 3x+4y-28=0,距離=\frac { 28-\frac { 3 }{ 2 }  }{ 5 } =\frac { 53 }{ 10 } \\ \left( B \right) 3x+4y+11=0,距離=\frac { 11+\frac { 3 }{ 2 }  }{ 5 } =\frac { 25 }{ 10 } =\frac { 5 }{ 2 } \\ \left( C \right) 6x+8y-19=0,距離=\frac { 19-3 }{ 10 } =\frac { 16 }{ 10 } =\frac { 8 }{ 5 } \\ \left( D \right) 6x+8y+19=0,距離=\frac { 19+3 }{ 10 } =\frac { 21 }{ 10 } \\，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $$圓{(x+1)}^2+{(y-3)}^2=15\Rightarrow 圓心(-1,3), 半徑=\sqrt{15}\\ 圓心至直線距離=\frac{-3+12+1}{5}=2\Rightarrow {半徑}^2=2^2+{(\frac{\overline{AB}}{2})}^2\\\Rightarrow 15=4+{(\frac{\overline{AB}}{2})}^2\Rightarrow \frac{\overline{AB}}{2}=\sqrt{11}\Rightarrow \overline{AB}=2\sqrt{11}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $$a=5,b=3\Rightarrow c=4\Rightarrow \triangle PAB=\overline{AB}(=2c)\times b \div 2=8\times 3\div 2=12，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解：中心點坐標=((6-4)/2,0)=(1,0), c=6-1=5, a=4-1=3, 因此b=4，雙曲線方程式:
$\frac { { \left( x-1 \right)  }^{ 2 } }{ 9 } -\frac { { y }^{ 2 } }{ 16 } =1$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解： $$f\left( x \right) =x\sqrt { 4{ x }^{ 2 }+1 } \Rightarrow f'\left( x \right) =\sqrt { 4{ x }^{ 2 }+1 } +\frac { 1 }{ 2 } x{ \left( 4{ x }^{ 2 }+1 \right)  }^{ -\frac { 1 }{ 2 }  }\left( 8x \right) \\ \Rightarrow f'\left( 0 \right) =1+0=1，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$f(p)=0\Rightarrow 8+4a+4=4\Rightarrow a=-2\Rightarrow f(x)=x^3-2x^2+4\\f'(x)=3x^2-4x\Rightarrow f'(2)=12-8=4\Rightarrow 切線斜率=4且經過P點，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $$\lim _{ x\rightarrow 0 }{ f\left( x \right)  } =\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \left| \sin { x }  \right|  } =0，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $$\int _{ 0 }^{ 4 }{ \frac { 1 }{ \sqrt { 2x+1 }  }  } dx=\left. \left( \sqrt { 2x+1 }  \right)  \right| _{ 0 }^{ 4 }=\sqrt { 9 } -\sqrt { 1 } =2，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解： $$x^2+4x-5=0\Rightarrow (x+5)(x-1)=0\Rightarrow S=-\int _{ -5 }^{ 1 }{ x^{ 2 }+4x-5 } dx\\=-\left. \left( { \frac { 1 }{ 3 }  }x^{ 3 }+2{ x }^{ 2 }-5x \right)  \right| _{ -5 }^{ 1 }=\left( \frac { -125 }{ 3 } +50+25 \right) -\left( \frac { 1 }{ 3 } +2-5 \right) \\=\frac { 100 }{ 3 } +\frac { 8 }{ 3 } =36，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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