105年師大附中特招數學詳解

試題來源：師大附中

解：

$$\begin{cases} a_{ 1 }=30 \\ a_{ 10 }+a_{ 11 }+\cdots +a_{ 22 }=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a_{ 1 }=30 \\ \frac { \left( a_{ 10 }+a_{ 22 } \right) \times 13 }{ 2 } =0 \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} a_{ 1 }=30 \\ a_{ 10 }+a_{ 22 }=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a_{ 1 }=30 \\ 2a_{ 1 }+30d=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a_{ 1 }=30 \\ d=-2 \end{cases}\\ a_{ 1 }+(n-1)d=4\Rightarrow 30-2(n-1)=4\Rightarrow n=14，故選\bbox[red,2pt]{(4)}。$$

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解：
$$甲=(-3)乙+(-9x+6)\Rightarrow 乙=\frac { 甲+(9x-6) }{ -3 } =\frac { -1 }{ 3 } 甲+(-3x+2)\\ \Rightarrow 商式為\frac{-1}{3}，餘式為-3x+2，故選\bbox[red,2pt]{(1)}。$$

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解：

$$\angle ACB=\angle DFE且\angle B=\angle E=90^\circ\Rightarrow \triangle ABC\sim \triangle DEF\\\Rightarrow \frac{\overline{DE}}{\overline{FE}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{BC}} \Rightarrow \frac{6}{9-a}=\frac{3}{a+3}\Rightarrow a=1\Rightarrow \overline{CE}-\overline{BF}=6-2a=4\\，故選\bbox[red,2pt]{(3)}。$$

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解：
假設大雄閱讀速度為每分鐘x個字，即$400\le x\le 450$
(1) 休息1次2分鐘$\Rightarrow$ 共休息4分鐘，閱讀26分鐘，$400\times 26=10400\le 26x\le 450\times 26=11700$
(2) 休息1次3分鐘$\Rightarrow$ 共休息6分鐘，閱讀24分鐘，$400\times 24=9600\le 24x\le 450\times 24=1080$
(3) 休息1次4分鐘$\Rightarrow$ 共休息8分鐘，閱讀22分鐘，$400\times 22=8800\le 22x\le 450\times 22=9900$
(4) 休息1次5分鐘$\Rightarrow$ 共休息10分鐘，閱讀20分鐘，$400\times 20=8000\le 20x\le 450\times 20=9000$

故選$\bbox[red,2pt]{(2)}$。

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解：
假設評審有a人，則參賽人數為3a-6⇒a(3a−6)=144⇒a=8⇒ (3a-6)-a=2a-6=16-6=10，故選$\bbox[red,2pt]{(1)}$。

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解：

$$\angle C=180-60-75=45\Rightarrow \angle B=45\Rightarrow \overline{AB}=\overline{AC}\\又\angle ADC>\angle DAC\Rightarrow \overline{AC}>\overline{CD}，故選\bbox[red,2pt]{(1)}。$$

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解：
$${ 96 }^{ 2 }+{ 98 }^{ 2 }+{ 101 }^{ 2 }+{ 103 }^{ 2 }={ \left( 100-4 \right)  }^{ 2 }+{ \left( 100-2 \right)  }^{ 2 }+{ \left( 100+1 \right)  }^{ 2 }+{ \left( 100+3 \right)  }^{ 2 }\\ ={ 100 }^{ 2 }-800+16+{ 100 }^{ 2 }-400+4+{ 100 }^{ 2 }+200+1+{ 100 }^{ 2 }+600+9\\ =4\times { 100 }^{ 2 }-400+30=49630，故選\bbox[red,2pt]{(2)}。$$

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解：

由各清況的第一步可推知各杯的濃度，
情況一的第一步可知：丙>乙、情況二的第一步可知：甲<乙、情況三的第一步可知：丁<乙、情況四的第一步可知：乙>甲乙。由以上可知四杯濃度為甲<丁<乙<丙。，故選$\bbox[red,2pt]{(1)}$。

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解：
假設一之買兩個甜甜圈的有a人，這種人共買了2a個甜甜圈，剩下(760-2a)個甜甜圈是一個一個賣出去的，即50a+35(760-2a)=21000，可求得a=280，故選$\bbox[red,2pt]{(4)}$。

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解：
$$\begin{cases} 4\le 10a<9 \\ 36\le 100a<49 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 0.4\le a<0.9 \\ 0.36\le a<0.49 \end{cases}\Rightarrow 0.4\le a<0.49\Rightarrow 0.16\le { a }^{ 2 }<0.2401\\，故選\bbox[red,2pt]{(2)}。$$

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解：

$$\overline{DC}//\overline{FE}\Rightarrow \angle 2=\angle FEB=180^\circ-\angle AFE\\ \triangle AFM中，\angle FAH+\angle AMF+\angle AFM=180^\circ \Rightarrow 8^\circ+\angle 1+(180^\circ-\angle 2)=180^\circ\\ \Rightarrow \angle 2-\angle 1=8^\circ，故選\bbox[red,2pt]{(2)}。$$

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解：

男生擲出點數非常平均，所以b=3.5；女生擲出1、2、3點的次數多於4、5、6點，因此a<3.5；總平均介於兩者之間，即a<c<b，故選$\bbox[red,2pt]{(4)}$。

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解：
$${\overline{AB}}^2={\overline{AD}}^2+{\overline{BD}}^2=28+36=64\Rightarrow \overline{AB}=8\Rightarrow \angle C>\angle B \Rightarrow \overline{AC}<8\\  {\overline{AE}}^2={\overline{AD}}^2+{\overline{ED}}^2=28+8=36 \Rightarrow \overline{AE}=6; \\ \angle CAD>\angle EAD\Rightarrow \overline{CD}>\overline{ED}\Rightarrow \overline{AC}>\overline{AE}=6，故選\bbox[red,2pt]{(3)}。$$

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解：

假設第1首+第4首+第5首三首播放時間為a，第2首+第3首播放時間為b則
a=7:37+7:28+7:25=22:30，b介於12至14分鐘之間。
從09:10:0至09:58:46之間的48:46=a+2b$\Rightarrow 2b=26:16\Rightarrow$b=13:08
 $\Rightarrow$a+b=22:30+13:08=35:38，，故選$\bbox[red,2pt]{(3)}$。

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解：
1-59中，3的倍數有59/3=19個、9的倍數有59/9=6個、27的倍數有59/27=2個，因此k=19+6+2=27，故選$\bbox[red,2pt]{(3)}$。

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解：

$$\angle AOE=\angle EOD=\angle DOC = 360\div 5=72\\ 圓周角\angle PQF = (\angle AOE+\angle EOD+\angle DOC+\angle CQF)\div 2 \\= (72+72+72+36)\div 2 = 126，故選\bbox[red,2pt]{(3)}。$$

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解：
假設正方形邊長為a，甲走了一圈回到原點A，其距離為4a。由速度比1:2:3可知: 乙走了8a(2圈)，丙走了12a(3圈)。因此甲遇到乙三次(第3次在原點A)、遇到丙四次。
甲走到B時: 乙走到了C，丙走到了D(先遇到了甲)。此時甲乙距離為a、甲丙距離為2a，甲遇到乙需要時間$\frac{a}{1+2}=\frac{a}{3}$，甲遇到丙需要時間$\frac{2a}{1+3}=\frac{a}{2}$，所以會先遇到乙再遇到丙，之後會先遇到兩次丙，故選$\bbox[red,2pt]{(4)}$。

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解：

有50位學生$\Rightarrow$A+B+C+D+E+F+G+H=50...(1)
第2次擲出正面有34人$\Rightarrow$A+B+E+F=34....(2)
34人中第1次與第3次擲出正面$\Rightarrow$A=10...(3)
34人中第1次或第3次擲出正面$\Rightarrow$B+E=18...(4)
由(2)(3)(4)可知F=34-10-18=6
有23位擲出2正面$\Rightarrow$B+C+E=23....(5)
有14位擲出1正面$\Rightarrow$D+F+G=14....(6)
擲出2反面且第2次也是反面，即求D+G=(6)-F=14-6=8
，故選$\bbox[red,2pt]{(4)}$。

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解：

$$假設\overline{AD}與x軸交於點E(m,0)\Rightarrow \triangle OAB=15, \triangle OBC=12, \triangle AOE=\frac{5m}{2}\\x軸上半部面積=15+\frac{5m}{2}=x軸下半部面積\Rightarrow 四邊形OEDC面積=3+\frac{5m}{2}\\y軸左半面積=27=右半面積=5m+3\Rightarrow m=\frac{24}{5}\\ \overline{AE}斜率=\overline{AD}斜率\Rightarrow \frac{5-q}{p}=\frac{5}{24/5}\Rightarrow 25p+24q=12\\ \triangle ABC=\triangle ADC\Rightarrow 27=\frac{9p}{2}\Rightarrow p=6\Rightarrow 25\times 6+24q=120\Rightarrow q=\frac{-5}{4}\\ \Rightarrow p+q=\frac{19}{4} ，故選\bbox[red,2pt]{(2)}。$$

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(1)68  (2) 73   (3) 78   (4)87

解：

$$\overline{AC}為\angle C的角平分線\Rightarrow \angle BCA=\angle ACO=a\\O為外心\Rightarrow \angle OCA=\angle OAC=a且\angle OCB=\angle OBC=2a且\angle OBA=\angle OAB=124-2a\\ \triangle ABC中, \angle ABC+\angle BCA+\angle CAB=180\Rightarrow 124+a+(124-3a)=180\Rightarrow a=34\\  \triangle OBC\cong \triangle AOD(SAS:\overline{OD}=\overline{BC} 且\overline{OB}=\overline{OA}且\angle AOD=\angle ACO+\angle CAO=2a=\angle CBO)\\ \Rightarrow \angle OAD=\angle BOC=180-4a\Rightarrow \angle CAD=(180-4a)+a=180-3a=78，故選\bbox[red,2pt]{(3)}。$$

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圖(十二)

解：

A出發有3種選擇，無論走哪一條都回到B點，從B點再出發有2種選擇，最後都回到A點，因此共有$3\times 2=\bbox[red,2pt]{(6)}$種走法。

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解：
$$\left| x+1 \right| +\left| x-2 \right| =5\Rightarrow \begin{cases} x\ge 2\Rightarrow 2x-1=5\Rightarrow x=3 \\ x\le -1\Rightarrow -x-1+2-x=5\Rightarrow x=-2 \end{cases}\\\Rightarrow a+b=3-2=\bbox[red,2pt]{(1)}。$$

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$$C. 若在數線上有A、B、C、D四點，且\overline{AC}=20，\overline{AD} =12、\overline{BC}=3，\overline{CD}=8，\\則\overline{AB}=(23)(24)$$

解：

由題意可知各點位置如上圖，因此$\overline{AB}=12+5=\bbox[red,2pt]{(17)}$。

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解：

$$\frac{\triangle CEF}{\triangle BCF}=\frac{4}{6}=\frac{\overline{EF}}{\overline{FB}}= \frac{\overline{CF}}{\overline{FA}}=\frac{\triangle CFB}{\triangle FBA}=\frac{6}{\triangle FBA}\\ \Rightarrow \triangle FBA=9\Rightarrow \triangle ADC=\triangle ABC=9+6=15=\triangle CEF+AFED\\ \Rightarrow AFED=15-4=\bbox[red,2pt]{(11)}。$$

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解：

$${ a }_{ k }=k+5\times \left( 2k+1 \right) =2018\Rightarrow 11k=2013\Rightarrow k=\bbox[red,2pt]{(183)}。$$

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解：

$$g(x)=h(x)\Rightarrow  x^2-x-12=0\Rightarrow (x-4)(x+3)=0\Rightarrow  x=4,3, 見上圖\\ 由題意可知f\left( x \right) =\begin{cases} g\left( x \right)  & x\le -4,\quad x\ge 4 \\ h\left( x \right)  & -3\le x\le 4 \end{cases}\\當a=4時，m=f(4)=g(4)=\bbox[red,2pt]{(9)}$$

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解：

f(x)=${(x-3)}^2+4\Rightarrow$ 開口向上，頂點在A(3,4)的拋物線, 見上圖。
f(x)=10$\Rightarrow  x^2-6x+13=10\Rightarrow  x=3\pm\sqrt{6}\Rightarrow B=(3-\sqrt{6},10),C=(3+\sqrt{6},10)$
$0<3-\sqrt{6}<1, 5<3+\sqrt{6}<6 \Rightarrow$  a=1,2,3,4,5，共有$\bbox[red,2pt]{(5)}$個。

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解：

$$在直角\triangle OSM中,  {\overline{OS}}^2={\overline{OM}}^2+{\overline{SM}}^2\Rightarrow  r^2 ={15}^2+5^2=250\\在直角\triangle OAN中, {\overline{OA}}^2={\overline{ON}}^2+{\overline{AN}}^2  \Rightarrow  r^2={(\frac{a}{2})}^2+{(a-5)}^2\\ \Rightarrow a^2-8a-180=0\Rightarrow  (a-18)(a+10)=0\Rightarrow a=\bbox[red,2pt]{(18)}。$$

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解：

首先《設定C為A與B的相差》應改為《設定C為A減B的絕對值》，這樣比較明確！
假設A的百位數字是a、十位數字是b、個位數字是c，即A=100a+10b+c；
a與c對調後，B=100c+10b+a，C=|A-B|=99|a-c|。
要能輸出C的條件必須a與c相差1(a不會與c相等)，否則會再進入百位數與個位數對調的計算中，所以C=$\bbox[red,2pt]{(99)}$。

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解：

共有28+25+27=80個時段=40天
(上,下)=(運算,數學)有a天
(上,下)=(數學,運算)有b天
(上,下)=(數學,數學)有c天
a+b+c=40, 又28個時段訓練「運算」，即a+b=28，因此c=40-28=12，故整天都訓練「數學」的有$\bbox[red,2pt]{(12)}$天。

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