90學年四技二專統測--數學(B)詳解

試題來源：技專校院入學測驗中心

解：

利用長除法可得 a=1,b=-1,c=3,d=-2, e=-4, 因此a+b+c+d+e=1-1+3-2-4=-3，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解： $$4x^{ 2 }-4x-1=0\Rightarrow x(較大根)=\frac { 4+\sqrt { 16+16 }  }{ 8 } =\frac { 4+4\sqrt { 2 }  }{ 8 } =\frac { 1+\sqrt { 2 }  }{ 2 } \\ =0.5+\frac { 1.414 }{ 2 } =0.5+0.707=1.207，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $$\begin{cases} \overline { AB } =5-2=3 \\ \overline { BC } =\sqrt { 9+1 } =\sqrt { 10 }  \\ \overline { AC } =\sqrt { 9+16 } =5 \end{cases}\Rightarrow \overline { AB } +\overline { BC } +\overline { AC } =8+\sqrt { 10 } ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $${ 2 }^{ { x }^{ 2 } }\cdot { 4 }^{ x }\cdot 16={ 8 }^{ x }\cdot 64\Rightarrow { 2 }^{ { x }^{ 2 } }\cdot { \left( { 2 }^{ 2 } \right)  }^{ x }\cdot { 2 }^{ 4 }={ \left( { 2 }^{ 3 } \right)  }^{ x }\cdot { 2 }^{ 6 }\Rightarrow { 2 }^{ x^{ 2 }+2x+4 }=2^{ 3x+6 }\\ \Rightarrow x^{ 2 }+2x+4=3x+6\Rightarrow x^{ 2 }-x-2=0\Rightarrow \left( x-2 \right) \left( x+1 \right) =0\\ \Rightarrow x=2,-1\Rightarrow 2-1=1，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解： $$\frac { \log _{ 8 }{ 3 } +\log _{ 8 }{ 9 }  }{ \log _{ 2 }{ 3 } +\log _{ 4 }{ 9 }  } =\frac { \frac { 1 }{ 3 } \log _{ 2 }{ 3 } +\frac { 2 }{ 3 } \log _{ 2 }{ 3 }  }{ \log _{ 2 }{ 3 } +\log _{ 2 }{ 3 }  } =\frac { 1 }{ 2 } ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解： $$\sin { 750° } +\tan { 1500° } =\sin { \left( 360°\times 2+30° \right)  } +\tan { \left( 360°\times 4+60° \right)  } \\ =\sin { 30° } +\tan { 60° } =\frac { 1 }{ 2 } +\sqrt { 3 } ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $$\begin{cases} { a }_{ 1 }=80 \\ { a }_{ 1 }+4d=405 \end{cases}\Rightarrow d=\frac { 325 }{ 4 } \Rightarrow \left| w-u \right| =2d=2\times \frac { 325 }{ 4 } =\frac { 325 }{ 2 } ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$\begin{cases} \sin { x } =\frac { 3 }{ 5 }  \\ \sin { y } =\frac { 7 }{ 25 }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \cos { x } =\frac { 4 }{ 5 }  \\ \cos { y } =\frac { 24 }{ 25 }  \end{cases}\Rightarrow \sin { \left( x+y \right)  } =\sin { x } \cos { y } +\cos { x } \sin { y } \\ =\frac { 3 }{ 5 } \times \frac { 24 }{ 25 } +\frac { 4 }{ 5 } \times \frac { 7 }{ 25 } =\frac { 100 }{ 125 } =\frac { 4 }{ 5 } ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $$\frac { 1 }{ 3 } +\frac { 2 }{ 9 } +\frac { 4 }{ 27 } +\cdots =\frac { \frac { 1 }{ 3 }  }{ 1-\frac { 2 }{ 3 }  } =1，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $$\sin { \theta  } =\frac { 1 }{ 5 } \Rightarrow \cos { \theta  } =\frac { 2\sqrt { 6 }  }{ 5 } \Rightarrow \cot { \theta  } =\frac { \frac { 2\sqrt { 6 }  }{ 5 }  }{ \frac { 1 }{ 5 }  } =2\sqrt { 6 } ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$\begin{cases} a-3=b \\ 3-5=b \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=1 \\ b=-2 \end{cases}\Rightarrow a+b=-1，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解： $$x+2=\frac { 1 }{ 2 } \Rightarrow x=\frac { -3 }{ 2 } \Rightarrow f\left( \frac { 1 }{ 2 }  \right) =\frac { \frac { -3 }{ 2 } +3 }{ \frac { -3 }{ 2 } +4 } =\frac { \frac { 3 }{ 2 }  }{ \frac { 5 }{ 2 }  } =\frac { 3 }{ 5 } ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解：L的斜率為-1，$\overline{PA}的斜率=1=\frac{b-2}{3-a}\Rightarrow  a+b=5$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：P至L的距離=$\left|\frac{3+4a+3}{\sqrt{3^2+4^2}}\right|=\left|\frac{6+4a}{5}\right| =2\Rightarrow$ a=-4(a=1不合, a需小於0)，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：1-(兩人都沒得金牌機率)=1-$\frac{1}{2}\times\frac{3}{5}=\frac{7}{10}$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：x=a=$\frac{-4}{10}=\frac{-2}{5}$有極小值b=f$\frac{-2}{5})=\frac{1}{5}\Rightarrow$  a+2b=0，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：圓C:${(x+3a)}^2+y^2=64+9a^2\Rightarrow 64+9a^2=100\Rightarrow a=\pm2$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：百位數可以是2,4,6,8有四種選擇，個位數可以是1,3,5,7,9有五種選擇，十位數有10種選擇，因此這樣的三位數有$4\times  5\times  10$=200個，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：取出2顆紅球，有$C_2^5$=10種可能、取出2顆白球，有$C_2^3$=3種可能、取出2顆藍球，只有1種可能。因此取出同色球有10+3+1=14種可能，而11球取2球有$C_2^{11}=$55種可能，機率為$\frac{14}{55}$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：假設甲手套有a個、乙手套有b個，由題意可知 $$\begin{cases} 50a+20b\le 900 \\ 40a+40b\le 1200 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 5a+2b\le 90 \\ a+b\le 30 \end{cases}\Rightarrow a=10,b=20\\\Rightarrow 50a+30b=1100，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解：$\frac{8!}{4!2!2!}$=420，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解： $$\sin { \theta  } +\cos { \theta  } =\frac { -24 }{ 18 } =-\frac { 4 }{ 3 } \Rightarrow { \left( \sin { \theta  } +\cos { \theta  }  \right)  }^{ 2 }=\frac { 16 }{ 9 } \\ \Rightarrow 1+2\sin { \theta  } \cos { \theta  } =\frac { 16 }{ 9 } \Rightarrow \sin { \theta  } \cos { \theta  } =\frac { 7 }{ 18 } =\frac { a }{ 18 } \\ \Rightarrow a=7，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解：
5個奇數1個偶數有$C_5^5\times C_1^4$=4種取法
4個奇數2個偶數有$C_4^5\times C_2^4$=30種取法
3個奇數3個偶數有$C_3^5\times C_3^4$=40種取法
一共有4+30+40=74種選法，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解： $$\frac { x+y-6 }{ 2x-y-6 } \le 0\Rightarrow \begin{cases} x+y-6\le 0 \\ 2x-y-6\ge 0 \end{cases}或\begin{cases} x+y-6\ge 0 \\ 2x-y-6\le 0 \end{cases}$$

$\triangle ABC面積=3\times 2\div  2$=3，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：$37800=2^3\times 3^3\times 5^2\times 7\Rightarrow$正因數有(3+1)(3+1)(2+1)(1+1)=96個
$2^3\times 3^3\times 5^2\times 7=30\times  2^2\times  3^2\times  5\times 7\Rightarrow$可以被30除盡的有(2+1)(2+1)(1+1)(1+1)=36個。因此不能被30除盡的有96-36=60個，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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