92學年四技二專統測--數學(B)詳解

試題來源：技專校院入學測驗中心

解： $$f(-2)=0\Rightarrow 16-8-8-2a+2=0\Rightarrow a=1，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $$2^2-4\times 3\times k=0\Rightarrow 4-12k=0\Rightarrow k=\frac{1}{3}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解：

y=3x+2斜率為3，則y=ax+3的斜率為$\frac{-1}{3}$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解： $$\frac{1}{3^x}=9^y\Rightarrow 3^{-x}=3^{2y}\Rightarrow -x=2y，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$\log_{10}{15}=\log_{10}{3}+\log_{10}{5}=\log_{10}{3}+1-\log_{10}{2}=b+1-a，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $$2-\frac { 3 }{ 2 } +\frac { 9 }{ 8 } -\frac { 27 }{ 32 } +\cdots =\frac { 2 }{ 1-\left( \frac { -3 }{ 4 }  \right)  } =\frac { 2 }{ \frac { 7 }{ 4 }  } =\frac { 8 }{ 7 } ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： 擲二粒骰子，共有36種情況，其中(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)，出現相同點數有六種情況，機率為6/36=1/6，其他機率為5/6。
期望值=$220\times\frac{1}{6}-50\times\frac{5}{6}=-5$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：甲投進、乙沒投進，機率為$\frac{1}{4}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{12}$
甲沒投進、乙投進，機率為$\frac{3}{4}\times\frac{2}{3}=\frac{1}{2}$
甲投進、乙也投進，機率為$\frac{1}{4}\times\frac{2}{3}=\frac{1}{6}$
三者機率相加=$\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：
4男3女:$4!\times 3!$=144
3女4男:$3!\times 4!$=144
1男3女3男:$4\times 3!\times 3!$=144
2男3女2男:$12\times 3!\times 2!$=144
3男3女1男:$4!\times 3!\times 1$=144
共有$144\times 5=720$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：$C_2^4\times  C_6^8=168$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解： $$x^{ 2 }+y^{ 2 }+2ax-1=0\Rightarrow { (x+a) }^{ 2 }+y^{ 2 }=1+a^{ 2 }\Rightarrow 圓心(-a,0),半徑\sqrt { 1+a^{ 2 } } \\ 圓心至直線距離=半徑長\Rightarrow \frac { a+3 }{ \sqrt { 2 }  } =\sqrt { 1+a^{ 2 } } \Rightarrow a^{ 2 }-6a-7=0\\ \Rightarrow \left( a-7 \right) \left( a+1 \right) =0\Rightarrow a=7(a>0)，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解：

各交點分別為A、B、C、D四點，如上圖。
B點代入有最大值: 40，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解： $$\left( \sin { 700° } ,\cos { 700° }  \right) =\left( \sin { 700°-360°\times 2 } ,\cos { 700° } -360°\times 2 \right) =\left( \sin { \left( -20° \right)  } ,\cos { \left( -20° \right)  }  \right) \\ =\left( -\sin { 20° } ,\cos { 20° }  \right) =(負,正)，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解：

$$35^\circ\Rightarrow  c>b>a\Rightarrow  \sin{35^\circ}(\frac{a}{c})<\cos{35^\circ}(\frac{b}{c})且\tan{35^\circ}(\frac{a}{b})> \sin{35^\circ}\\，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解： $$2\sin ^{ 2 }{ x } +\cos { x } =2\left( 1-\cos ^{ 2 }{ x }  \right) +\cos { x } =-2\cos ^{ 2 }{ x } +\cos { x } +2\\=-2{ \left( \cos { x } -\frac { 1 }{ 4 }  \right)  }^{ 2 }+\frac { 17 }{ 8 } \\ \Rightarrow \begin{cases} 當\cos { x } =\frac { 1 }{ 4 } 時，有最大值\frac { 17 }{ 8 }  \\ 當\cos { x } =-1時，有最小值-2\times { \left( -\frac { 5 }{ 4 }  \right)  }^{ 2 }+\frac { 17 }{ 8 } =-1 \end{cases}\\ ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解： $$\begin{cases} f\left( 1 \right) =3 \\ f\left( -1 \right) =1 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} m+n+2=3 \\ -m+n+6=1 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} m=3 \\ n=-2 \end{cases}\Rightarrow f\left( 2 \right) =8m+4n-4+4\\ =8m+4n=24-8=16，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$6^{ x }\cdot 8^{ y }=2^{ 8 }\cdot 3^{ 5 }\Rightarrow 2^{ x }\cdot 3^{ x }\cdot 2^{ 3y }=2^{ 8 }\cdot 3^{ 5 }\Rightarrow \begin{cases} x=5 \\ x+3y=8 \end{cases}\\\Rightarrow \begin{cases} x=5 \\ y=1 \end{cases}\Rightarrow x+y=6，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解：直線通過第1,2,4象限，代表其x截距及y截距皆為正值，因此，b>0且a<0$\Rightarrow  ab<0且a-b<0$，P在第三象限，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：f(2)=1且g(2)=-1$\Rightarrow$f(2)-2g(2)=1+2=3，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：此題相當於求x+y+z=30的非負整數解，共有$H_{30}^3=C_{30}^{32}=C_2^{32}$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解： $$\begin{cases} 5-3=2(x-5) \\ -2-4=2(y+2) \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=6 \\ y=-5 \end{cases}\Rightarrow x+y=1，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $$\frac { 1+\frac { 1 }{ 4 } \log _{ 10 }{ 81 } -\frac { 1 }{ 3 } \log _{ 10 }{ 125 }  }{ \frac { 1 }{ 4 } \log _{ 10 }{ 16 } +\frac { 1 }{ 3 } \log _{ 10 }{ 27 }  } =\frac { 1+\frac { 1 }{ 4 } \log _{ 10 }{ { 3 }^{ 4 } } -\frac { 1 }{ 3 } \log _{ 10 }{ 5^{ 3 } }  }{ \frac { 1 }{ 4 } \log _{ 10 }{ 2^{ 4 } } +\frac { 1 }{ 3 } \log _{ 10 }{ 3^{ 3 } }  } \\ =\frac { 1+\log _{ 10 }{ 3 } -\log _{ 10 }{ 5 }  }{ \log _{ 10 }{ 2 } +\log _{ 10 }{ 3 }  } =\frac { 1+\log _{ 10 }{ 3 } -(1-\log _{ 10 }{ 2 } ) }{ \log _{ 10 }{ 2 } +\log _{ 10 }{ 3 }  } =1，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解： $${ x }^{ 2 }+y^{ 2 }+2x-4y-4=0\Rightarrow { \left( x+1 \right)  }^{ 2 }+{ \left( y-2 \right)  }^{ 2 }={ 3 }^{ 2 }\Rightarrow 圓心(-1,2),半徑3\\ 圓心至x-y=5的距離為\frac { 8 }{ \sqrt { 2 }  } =4\sqrt { 2 } >半徑\\ \Rightarrow 圓至直線最短距離=圓心至直線距離-半徑=4\sqrt { 2 } -3，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $$\begin{cases} { a }_{ 1 }=-20 \\ { a }_{ 7 }=-11 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} { a }_{ 1 }=-20 \\ { a }_{ 1 }+6d=-11 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} { a }_{ 1 }=-20 \\ d=\frac { 3 }{ 2 }  \end{cases}\\ { a }_{ n }>0\Rightarrow { a }_{ 1 }+(n-1)d>0\Rightarrow -20+(n-1)\times \frac { 3 }{ 2 } >0\Rightarrow n-1>20\times \frac { 2 }{ 3 } =\frac { 40 }{ 3 } \\ \Rightarrow n>\frac { 43 }{ 3 } =14\frac { 1 }{ 3 } ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解：
假設平行2x+3y=1的直線為2x+3y=k，點(1,2)經過，即2+6=k，因此該方程式為2x+3y=8，相當於$\frac{1}{4}x+\frac{3}{8}y=1\Rightarrow a-b=\frac{-1}{8}$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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