97學年四技二專統測--數學(C)詳解

試題來源：技專校院入學測驗中心

解： $$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}\Rightarrow (4-0,-8+5)=(x+5,y-4)\\ \Rightarrow (4,-3)=(x+5,y-4)\Rightarrow x=-1,y=1\Rightarrow (x,y)在第二象限，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解：
首數就是取最接近且小於等於$\log{a}的整數，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$

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解： $$\left( x+2 \right) \left( x+3 \right) \left( x-4 \right) \left( x-5 \right) =60\Rightarrow \left[ \left( x+2 \right) \left( x-4 \right) \right] \left[ \left( x+3 \right) \left( x-5 \right) \right] =60\\ \Rightarrow \left[ { x }^{ 2 }-2x-8 \right] \left[ { x }^{ 2 }-2x-15 \right] =60\Rightarrow { \left( { x }^{ 2 }-2x \right) }^{ 2 }-23\left( { x }^{ 2 }-2x \right) +60=0\\ \Rightarrow \left( { x }^{ 2 }-2x-20 \right) \left( { x }^{ 2 }-2x-3 \right) =0\Rightarrow \left( { x }^{ 2 }-2x-20 \right) \left( x-3 \right) \left( x+1 \right) =0\\，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $$f(-3)=20\Rightarrow -9a+2=20 \Rightarrow a=-2，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解：底數需為不為0的正數，因此(B)(C)不合；又對數值需大0，因此(D)也不合，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}。$

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解： $${(x-1)}^2=x^2-2x+1\Rightarrow ax^2+bx-4=-4(x^2-2x+1)=-4x^2+8x-4\\ \Rightarrow a=-4,b=8\Rightarrow \frac{1}{2}a+b=-2+8=6，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解：x=2代入多項式為０，即$2^3-2a+12=0\Rightarrow a=10，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：重心坐標=$\left(\frac{3-1+7}{3},\frac{-5+8+6}{3}\right)=(3,3)，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解： $$\overline{PQ}=\sqrt{8^2+6^2}=10，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $${(3^n)}^4={(81)}^3\Rightarrow 3^{4n}={(3^4)}^3=3^{12}\Rightarrow n=3，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $$a=3=3\log _{ 2 }{ 2 } =\log _{ 2 }{ 8 } =\log _{ 2 }{ \sqrt { 64 }  } \\ b=2\log _{ 2 }{ 3 } =\log _{ 2 }{ 9 } =\log _{ 2 }{ \sqrt { 81 }  } \\ c=3\log _{ 4 }{ 3 } =\frac { 3 }{ 2 } \log _{ 2 }{ 3 } =\log _{ 2 }{ \sqrt { 27 }  } \\ \Rightarrow b>a>c，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解： $$\log _{ \sqrt { 5 }  }{ 125 } =\log _{ { 5 }^{ \frac { 1 }{ 2 }  } }{ { 5 }^{ 3 } } =6\log _{ 5 }{ 5 } =6，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $$2\log { \sqrt { 3x }  } =4\log { 2 } +2\log { \sqrt { 2 }  } \Rightarrow \log { 3x } =4\log { 2 } +\log { 2 } =5\log { 2 } \\ \Rightarrow 3x={ 2 }^{ 5 }\Rightarrow x=\frac { 32 }{ 3 } ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解：
每封信皆有6種選擇，共有$6\times 6\times 6\times 6\times 6=6^5$種，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：有6個字母，其中3個a、2個n，因此有$\frac{6!}{3!2!}=60$種排法，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。$$

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解：10元硬幣可以兌換5, 4, 3, 2, 1, 0個，有6種換法，剩餘金額兌換成1元，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：5種果汁A,B,C,D,E
3個杯子的果汁均相同: 有5種倒法
2個杯子的果汁相同，另一杯不同: 前兩杯一樣有5種，後一杯有4種，共20種倒法
3個杯子的果汁均不同: 有$\frac{5\times 4\times 3}{3!}=10$種倒法
總共有5+20+10=35種倒法，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解： $$C_2^6\times C_2^4\times C_2^2=15\times 6=90，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $$C_2^5\times{(-2)}^2=10\times 4=40，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解：安安擲出的點數為a、可可擲出的點數為b，依題意
(a,b)=(2,1)、
          (3,1)、(3,2)
          (4,1)、(4,2)、(4,3)
          (5,1)、(5,2)、(5,3)、(5,4)
          (6,1)、(6,2)、(6,3)、(6,4)、(6,5)
共有1+2+...+5=15種情況，機率為$\frac{15}{36}=\frac{5}{12}$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：無論何時，取出紅球的機率都是$\frac{5}{9}$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：40%+32%-11%=61%，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：無論答對答錯，機率都是$\frac{1}{2}$；全對機率為${(\frac{1}{2})}^6=\frac{1}{64}$，答對5題機率也是為$\frac{1}{64}$，但有6種情況，所以機率為$\frac{6}{64}$；兩者相加=$\frac{7}{64}$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：(a,b)=(1,1-9)、(2,2-9)、(3,3-9)、...、(8,8-9)及(9,9)，各有9、8、7、...、2、1種情況，總共有9+8+7+..+1=45種情況，機率為$\frac{45}{81}=\frac{5}{9}$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：抽中任一球的機率都是$\frac{1}{10}$，因此期望值為$\frac{1}{10}\times\left( 1+2+..+10\right) =5.5$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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