95學年四技二專統測--數學(A)詳解

試題來源：技專校院入學測驗中心

解： $$\log _{ 3 }{ x } +\log _{ 3 }{ y } =2\Rightarrow \log _{ 3 }{ \left( xy \right)  } =2\Rightarrow xy=9\\ \frac { x+y }{ 2 } \ge \sqrt { xy } \Rightarrow x+y\ge 6\\ \frac { 1 }{ x } +\frac { 1 }{ y } =\frac { x+y }{ xy } =\frac { x+y }{ 9 } \ge \frac { 6 }{ 9 } =\frac { 2 }{ 3 } ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解：f(0)=0代表x為其因式，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解： $${ \left( { 2 }^{ 4-x } \right)  }^{ x }=16\Rightarrow { 2 }^{ 4x-{ x }^{ 2 } }={ 2 }^{ 4 }\Rightarrow 4x-{ x }^{ 2 }=4\Rightarrow { x }^{ 2 }-4x+4=0\Rightarrow { (x-2) }^{ 2 }=0\\，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解： $$4{ \left( \frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ 4 }+4{ \left( \frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ 3 }+{ \left( \frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+3=\frac { 1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 4 } +3=4，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $$\left( \frac { 0-12+24 }{ 3 } ,\frac { 6-24+12 }{ 3 }  \right) =\left( 4,-2 \right) ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $$\left| x-4 \right| <8\Rightarrow \begin{cases} x\le 4\Rightarrow x-4<8\Rightarrow x<12 \\ x\ge 4\Rightarrow 4-x<8\Rightarrow -4<x \end{cases}\Rightarrow -4<x<12\\ \Rightarrow (x-12)(x+4)<0，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解：越接近圓形面積越大，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：

$$b^{ 2 }=a^{ 2 }+c^{ 2 }-2ac\cos { B } =25+9+30\times \frac { 1 }{ 2 } =49\\ b^{ 2 }=r^{ 2 }+r^{ 2 }-2\times r\times r\times \cos { \angle AOC } =2r^{ 2 }+2r^{ 2 }\times \frac { 1 }{ 2 } =3r^{ 2 }\\ \Rightarrow 3r^{ 2 }=49\Rightarrow r^{ 2 }=\frac { 49 }{ 3 } \Rightarrow 面積=\frac { 49 }{ 3 } \pi ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$\int _{ 1 }^{ 9 }{ \frac { 1 }{ \sqrt { x }  }  } dx=\int _{ 1 }^{ 9 }{ { x }^{ -\frac { 1 }{ 2 }  } } dx=\left. \left( { 2x }^{ \frac { 1 }{ 2 }  } \right)  \right| _{ 1 }^{ 9 }=6-2=4，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $$\left| \begin{matrix} 1 & a+1 & { a }^{ 2 }\left( a+1 \right)  \\ 1 & b+1 & { b }^{ 2 }\left( b+1 \right)  \\ 1 & c+1 & { c }^{ 2 }\left( c+1 \right)  \end{matrix} \right| =\left| \begin{matrix} 1 & a+1 & { a }^{ 3 }+{ a }^{ 2 } \\ 1 & b+1 & { b }^{ 3 }+{ b }^{ 2 } \\ 1 & c+1 & { c }^{ 3 }+{ c }^{ 2 } \end{matrix} \right| =\left| \begin{matrix} 1 & a & { a }^{ 3 }+{ a }^{ 2 } \\ 1 & b & { b }^{ 3 }+{ b }^{ 2 } \\ 1 & c & { c }^{ 3 }+{ c }^{ 2 } \end{matrix} \right|\\ =\left| \begin{matrix} 1 & a & { a }^{ 2 } \\ 1 & b & { b }^{ 2 } \\ 1 & c & { c }^{ 2 } \end{matrix} \right| +\left| \begin{matrix} 1 & a & { a }^{ 3 } \\ 1 & b & { b }^{ 3 } \\ 1 & c & { c }^{ 3 } \end{matrix} \right| =12+156=168，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $$\bbox[red,2pt]{本題送分}。$$

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解：A點、B點與山的位置形成正三角形(三個角都是60度)，因此A點至山的距離為200公尺；A點觀測山的仰角為45度，因此A點、山腳與山頂成等腰直角，山高=A點至山腳距離=200，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解： $$\int _{ -1 }^{ 1 }{ \left| { x }^{ 3 } \right|  } dx=\int _{ 0 }^{ -1 }{ { x }^{ 3 } } dx+\int _{ 0 }^{ 1 }{ { x }^{ 3 } } dx=\left. \left( \frac { 1 }{ 4 } { x }^{ 4 } \right)  \right| _{ 0 }^{ -1 }+\left. \left( \frac { 1 }{ 4 } { x }^{ 4 } \right)  \right| _{ 0 }^{ 1 }=\frac { 1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ 4 } =\frac { 1 }{ 2 } \\，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\left(\cos{30^\circ},\sin{30^\circ} \right)+\left(\cos{150^\circ},\sin{150^\circ} \right)+\left(\cos{270^\circ},\sin{270^\circ} \right)\\ =\left(\cos{30^\circ},\sin{30^\circ} \right)+\left(-\cos{30^\circ},\sin{30^\circ} \right)+ \left(0,-1 \right) =\left(0,2\sin{30^\circ}-1 \right)\\=\left(0,0 \right)，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$在{ y }^{ 2 }=4x上的點(\frac { y^{ 2 } }{ 4 } ,y)至直線x+y+2=0的距離\\ =\left| \frac { \frac { y^{ 2 } }{ 4 } +y+2 }{ \sqrt { 2 }  }  \right| =\left| \frac { \frac { 1 }{ 4 } \left( y^{ 2 }+4y+4 \right) +1 }{ \sqrt { 2 }  }  \right| =\left| \frac { \frac { 1 }{ 4 } { \left( y+2 \right)  }^{ 2 }+1 }{ \sqrt { 2 }  }  \right| \\ \Rightarrow 最小值=\left| \frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  }  \right| =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  } ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解： $$\overrightarrow { AB } =\left( 4-2,3-5 \right) =\left( 2,-2 \right) ,\overrightarrow { AC } =\left( 5-2,1-5 \right) =\left( 3,-4 \right) \\ \overrightarrow { AD } =\frac { \overrightarrow { AB } \cdot \overrightarrow { AC }  }{ { \left| \overrightarrow { AC }  \right|  }^{ 2 } } \overrightarrow { AC } =\frac { 6+8 }{ 25 } \overrightarrow { AD } =\frac { 14 }{ 25 } \overrightarrow { AC } \Rightarrow \left| \overrightarrow { AD }  \right| :\left| \overrightarrow { AC }  \right| =14:25\\，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$4{ y }^{ 2 }={ \left( 2x+1 \right)  }^{ 2 }+9\Rightarrow \frac { { y }^{ 2 } }{ \frac { 9 }{ 4 }  } -\frac { { \left( 2x+1 \right)  }^{ 2 } }{ 9 } =1\\ \Rightarrow 漸近線:\frac { y }{ \frac { 3 }{ 2 }  } =\pm \frac { 2x+1 }{ 3 } \Rightarrow 3y=\pm \left( 3x+\frac { 3 }{ 2 }  \right) \\ \Rightarrow y=\pm \left( x+\frac { 1 }{ 2 }  \right) ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解： $$\sum _{ n=1 }^{ 4 }{ { \left( -i \right)  }^{ n } } =\left( -i \right) +\left( -1 \right) +i+1=0\\ \Rightarrow \sum _{ n=1 }^{ 50 }{ { \left( { i }^{ 3 } \right)  }^{ n } } =\sum _{ n=1 }^{ 50 }{ { \left( -i \right)  }^{ n } } =\sum _{ n=1 }^{ 48 }{ { \left( -i \right)  }^{ n } } +\sum _{ n=49 }^{ 50 }{ { \left( -i \right)  }^{ n } } =0+\left[ \left( -i \right) +\left( -1 \right)  \right] \\ =-i-1\Rightarrow a=-1,b=-1\Rightarrow a+2b=-3，故選\bbox[red,2pt]{(B)本題送分}。$$

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解： $$L:y=2x+b過(3,0)\Rightarrow 0=6+b\Rightarrow b=-6\Rightarrow L:y=2x-6\\(6,6)經過L，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $$\left( 3\overrightarrow { a } -2\overrightarrow { b }  \right) \cdot \left( 3\overrightarrow { a } -2\overrightarrow { b }  \right) ={ \left| 3\overrightarrow { a } -2\overrightarrow { b }  \right|  }^{ 2 }\Rightarrow 9{ \left| \overrightarrow { a }  \right|  }^{ 2 }-12\overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { b } +4{ \left| \overrightarrow { b }  \right|  }^{ 2 }=9\\ \Rightarrow 9-12\overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { b } +36=9\Rightarrow \overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { b } =3，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$f\left( x \right) =\left( { x }^{ 2 }+3x+1 \right) \left( { x }^{ 2 }-3x+5 \right) \Rightarrow f'\left( x \right) =\left( 2x+3 \right) \left( { x }^{ 2 }-3x+5 \right) +\left( { x }^{ 2 }+3x+1 \right) \left( 2x-3 \right) \\ \Rightarrow f'\left( 1 \right) =5\times 3+5\times \left( -1 \right) =10，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $$\begin{cases} \sin { \theta  } +\cos { \theta  } =-\frac { 2 }{ 3 }  \\ \sin { \theta  } \cos { \theta  } =\frac { k }{ 3 }  \end{cases}\Rightarrow { \left( \sin { \theta  } +\cos { \theta  }  \right)  }^{ 2 }={ \left( -\frac { 2 }{ 3 }  \right)  }^{ 2 }\Rightarrow 1+2\sin { \theta  } \cos { \theta  } =\frac { 4 }{ 9 } \\ \Rightarrow \sin { \theta  } \cos { \theta  } =-\frac { 5 }{ 18 } =\frac { k }{ 3 } \Rightarrow k=-\frac { 5 }{ 6 } ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解： $$2+\sqrt { 3 } i為一根，則另一根為2-\sqrt { 3 } i\\ \Rightarrow \begin{cases} \left( 2+\sqrt { 3 } i \right) +\left( 2-\sqrt { 3 } i \right) =\frac { -a }{ 2 }  \\ \left( 2+\sqrt { 3 } i \right) \left( 2-\sqrt { 3 } i \right) =\frac { b }{ 2 }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 4=\frac { -a }{ 2 }  \\ 7=\frac { b }{ 2 }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=-8 \\ b=14 \end{cases}\\ \Rightarrow a+b=-8+14=6，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $$\frac { x }{ 3 } +\frac { y }{ 4 } =1\Rightarrow 4x+3y=12\Rightarrow 斜率=\frac { -4 }{ 3 } \\ \Rightarrow 垂直該直線的方程式為L:y=\frac { 3 }{ 4 } x+b\\ \Rightarrow (2,-1)過L\Rightarrow -1=\frac { 3 }{ 2 } +b\Rightarrow b=\frac { -5 }{ 2 } \\ \Rightarrow L:y=\frac { 3 }{ 4 } x-\frac { 5 }{ 2 } \Rightarrow 3x-4y=10，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$f\left( x \right) =\sin ^{ 2 }{ x } -2\cos { x } +2=1-\cos ^{ 2 }{ x } -2\cos { x } +2=-\left( \cos ^{ 2 }{ x } +2\cos { x } -3 \right) \\ ={ -\left( \cos { x } +1 \right)  }^{ 2 }+4，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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