94學年四技二專統測--數學(C)詳解

試題來源：技專校院入學測驗中心

解：

利用長除法可知: a-1=-4且b+1=5，即a=-3, b=4，因此a+b=1，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：令C=(x,y)，2(x+4)=3(1-x)且2(y-4)=3(-1-y)，則x=-1,y=1，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：只有(B)的x次方為正整數，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解： $${ \left( 0.0625 \right)  }^{ -1.5 }={ \left( \frac { 625 }{ 10000 }  \right)  }^{ -\frac { 3 }{ 2 }  }={ \left( \frac { 25 }{ 100 }  \right)  }^{ -3 }={ \left( \frac { 1 }{ 4 }  \right)  }^{ -3 }={ 4 }^{ 3 }=64，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $${ 2 }^{ 2x+1 }+{ 2 }^{ 3x }=5\cdot { 2 }^{ x+4 }\Rightarrow 2\cdot { \left( { 2 }^{ x } \right)  }^{ 2 }+{ \left( { 2 }^{ x } \right)  }^{ 3 }=80\cdot { 2 }^{ x }\Rightarrow { 2 }^{ x }\left( { \left( { 2 }^{ x } \right)  }^{ 2 }+2{ \left( { 2 }^{ x } \right)  }-80 \right) =0\\ \Rightarrow { 2 }^{ x }\left( { 2 }^{ x }+10 \right) \left( { 2 }^{ x }-8 \right) =0\Rightarrow { 2 }^{ x }=8\Rightarrow x=3，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解：(x,y,z)=(4,1,1),(2,2,1),(1,1,2)，只有三組解，xyz=4最大，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解： $$\overline { PQ } =\overline { PR } \Rightarrow \sqrt { 1+{ (k-2) }^{ 2 } } =\sqrt { { (k-4) }^{ 2 }+3^{ 2 } } \Rightarrow k^{ 2 }-4k+5=k^{ 2 }-8k+25\\ \Rightarrow 4k=20\Rightarrow k=5 ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $$f\left( 3 \right) =f\left( 2\times 2-1 \right) =\frac { 2\times 2 }{ 3\times 2+1 } =\frac { 4 }{ 7 } ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $$x=\frac { \left( { 2 }^{ a }+{ 2 }^{ -a } \right) \pm \sqrt { { \left( { 2 }^{ a }+{ 2 }^{ -a } \right)  }^{ 2 }-4 }  }{ 2 } ={ \frac { \left( { 2 }^{ a }+{ 2 }^{ -a } \right) \pm \sqrt { { 2 }^{ 2a }+{ 2 }^{ -2a }-2 }  }{ 2 }  }\\ =\frac { \left( { 2 }^{ a }+{ 2 }^{ -a } \right) \pm \sqrt { { \left( { 2 }^{ a }-{ 2 }^{ -a } \right)  }^{ 2 } }  }{ 2 } =\frac { \left( { 2 }^{ a }+{ 2 }^{ -a } \right) \pm \left( { 2 }^{ a }-{ 2 }^{ -a } \right)  }{ 2 } ={ 2 }^{ a },{ 2 }^{ -a }>0，\\故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解： $$\log { x } =2\log { x } \Rightarrow x=x^{ 2 }\Rightarrow x(x-1)=0\Rightarrow x=1(0不合)\\ \Rightarrow y=\log { 1 } \Rightarrow y=0\Rightarrow a+b=1+0=1，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $$S\left( x \right) =\frac { { 3 }^{ x }-{ 3 }^{ -x } }{ 2 } \Rightarrow S^{ 2 }\left( x \right) =\frac { { 3 }^{ 2x }+{ 3 }^{ -2x }-2 }{ 4 } \Rightarrow { 3 }^{ 2x }+{ 3 }^{ -2x }=4S^{ 2 }\left( x \right) +2\\ \Rightarrow C\left( 2x \right) =\frac { { 3 }^{ 2x }+{ 3 }^{ -2x } }{ 2 } =\frac { 4S^{ 2 }\left( x \right) +2 }{ 2 } =2S^{ 2 }\left( x \right) +1，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解： $$a={ \left( 0.7 \right)  }^{ \frac { 1 }{ 3 }  }={ \left( \frac { 7 }{ 10 }  \right)  }^{ \frac { 1 }{ 3 }  }\\ b={ \left( 0.49 \right)  }^{ \frac { 1 }{ 5 }  }={ \left[ { \left( \frac { 7 }{ 10 }  \right)  }^{ 2 } \right]  }^{ \frac { 1 }{ 5 }  }={ \left( \frac { 7 }{ 10 }  \right)  }^{ \frac { 2 }{ 5 }  }\\ c={ \left( 0.343 \right)  }^{ \frac { 1 }{ 7 }  }={ \left[ { \left( \frac { 7 }{ 10 }  \right)  }^{ 3 } \right]  }^{ \frac { 1 }{ 7 }  }={ \left( \frac { 7 }{ 10 }  \right)  }^{ \frac { 3 }{ 7 }  }\\ \frac { 3 }{ 7 } >\frac { 2 }{ 5 } >\frac { 1 }{ 3 } \Rightarrow a>b>c，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$\left( \log _{ 3 }{ 4 }  \right) \left( \log _{ 2 }{ 3 } +\log _{ 8 }{ 27 }  \right) =\left( 2\log _{ 3 }{ 2 }  \right) \left( \log _{ 2 }{ 3 } +\log _{ 2 }{ 3 }  \right) =\left( 2\log _{ 3 }{ 2 }  \right) \left( 2\log _{ 2 }{ 3 }  \right) \\ =4，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解：六個字排列有6!排法，但其中有三組兩個字母相同，所以有$\frac{6!}{2!2!2!}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解： $${ C }_{ 11 }^{ 11 }+{ C }_{ 10 }^{ 11 }+{ C }_{ 9 }^{ 11 }+{ C }_{ 8 }^{ 11 }+{ C }_{ 7 }^{ 11 }+{ C }_{ 6 }^{ 11 }={ C }_{ 0 }^{ 11 }+{ C }_{ 1 }^{ 11 }+{ C }_{ 2 }^{ 11 }+{ C }_{ 3 }^{ 11 }+{ C }_{ 4 }^{ 11 }+{ C }_{ 5 }^{ 11 }\\ =\frac { 1 }{ 2 } \sum _{ n=0 }^{ 11 }{ { C }_{ n }^{ 11 } } =\frac { 1 }{ 2 } \times { 2 }^{ 11 }={ 2 }^{ 10 }=1024，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解：個位數有4種選擇、十位數有4種選擇、百位數有3種選擇，共有$4\times 4\times 3=48，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解： $$共有六種三位數:\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix} \right) ，總和為1332，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解：6個相異數字，其中5個與中獎號碼相同，一個不同，有14種；第1個不同或第2個不同...第6個不同，有6種可能，所以共有14x6=84，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解： $${ C }_{ 3 }^{ 7 }{ C }_{ 2 }^{ 4 }{ C }_{ 2 }^{ 2 }=\frac { 7! }{ 4!3! } \times \frac { 4! }{ 2!2! } \times \frac { 2! }{ 2! } =210，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $${ \left( { x }^{ 2 }+\frac { 1 }{ 7{ x }^{ k } }  \right)  }^{ 6 }=\sum _{ n=0 }^{ 6 }{ { C }_{ n }^{ 6 } } { \left( { x }^{ 2 } \right)  }^{ n }{ \left( \frac { 1 }{ 7{ x }^{ k } }  \right)  }^{ 6-n }=\sum _{ n=0 }^{ 6 }{ { C }_{ n }^{ 6 } } { { \left( \frac { 1 }{ 7 }  \right)  }^{ 6-n } }x^{ 2n+nk-6k }\\ { x }^{ 2 }係數為\frac { 15 }{ 49 } \Rightarrow \begin{cases} { C }_{ n }^{ 6 }\times { \left( \frac { 1 }{ 7 }  \right)  }^{ 6-n }=\frac { 15 }{ 49 }  \\ 2n+nk-6k=2 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} n=4 \\ 2\times 4+4\times k-6k=2 \end{cases}\\ \Rightarrow 6=2k\Rightarrow k=3，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解：此題相當於從5人中選出2人當委員，有$C_2^5=10$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：每一題的期望值=$5\times\frac{1}{4}$，20題的期望值=$5\times\frac{1}{4}\times 20=25$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：每一題猜對的機率皆為$\frac{1}{4}$，15題皆答對的機率=${\left(\frac{1}{4}\right)}^{15}$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：剛好命中一發機率=A命中且BC皆不命中+B命中且AC皆不命中+C命中且AB皆不命中
=$\frac{1}{3}\times\frac{3}{4}\times\frac{4}{5}+\frac{1}{4}\times\frac{2}{3}\times\frac{4}{5}+\frac{1}{5}\times\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}=\frac{26}{60}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：
48位女生: 甲校20位、乙校28位
52位男生: 甲校40-20=20位、乙校60-28=32位
乙校男生/全部=32/100=8/25，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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